Theorem cau3lem 9710

Description: Lemma for cau3 9711. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cau3lem.1	|- Z C_ ZZ
cau3lem.2	|- ( ta -> ps )
cau3lem.3	|- ( ( F ` k ) = ( F ` j ) -> ( ps <-> ch ) )
cau3lem.4	|- ( ( F ` k ) = ( F ` m ) -> ( ps <-> th ) )
cau3lem.5	|- ( ( ph /\ ch /\ ps ) -> ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) = ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) )
cau3lem.6	|- ( ( ph /\ th /\ ch ) -> ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) = ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) )
cau3lem.7	|- ( ( ph /\ ( ps /\ th ) /\ ( ch /\ x e. RR ) ) -> ( ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )

Assertion

Ref	Expression
cau3lem	|- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )

Distinct variable groups:   k, m, ch   x, k, D, m   k, F, m, x   j, k, m, x, ph   k, G, m, x   ps, m, x   ta, x   th, k   x, Z

Allowed substitution hints:   ps( j, k)   ch( x, j)   th( x, j, m)   ta( j, k, m)   D( j)   F( j)   G( j)   Z( j, k, m)

Proof of Theorem cau3lem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3768	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) )
2	1	anbi2d 437	. . . . 5 |- ( x = z -> ( ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) ) )
3	2	rexralbidv 2350	. . . 4 |- ( x = z -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) ) )
4	3	cbvralv 2533	. . 3 |- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. z e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) )
5		rphalfcl 8610	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> ( x / 2 ) e. RR+ )
6		breq2 3768	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( x / 2 ) -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z <-> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
7	6	anbi2d 437	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x / 2 ) -> ( ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) <-> ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
8	7	rexralbidv 2350	. . . . . . . 8 |- ( z = ( x / 2 ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
9	8	rspcv 2652	. . . . . . 7 |- ( ( x / 2 ) e. RR+ -> ( A. z e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
10	5, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ -> ( A. z e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
11	10	adantl 262	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. z e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
12		cau3lem.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ta -> ps )
13	12	ralimi 2384	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps )
14		r19.26 2441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
15		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
16		cau3lem.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` k ) = ( F ` m ) -> ( ps <-> th ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = m -> ( ps <-> th ) )
18	15	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = m -> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) = ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) )
19	18	fveq2d 5182	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = m -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) = ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) )
20	19	breq1d 3774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = m -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) <-> ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
21	17, 20	anbi12d 442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = m -> ( ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
22	21	cbvralv 2533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
23	22	biimpi 113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
25	14, 24	syl5bir 142	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
26	25	expdimp 246	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
27		cau3lem.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Z C_ ZZ
28	27	sseli 2941	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. Z -> j e. ZZ )
29		uzid 8487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. Z -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
31		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
32		cau3lem.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` k ) = ( F ` j ) -> ( ps <-> ch ) )
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( ps <-> ch ) )
34	33	rspcva 2654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` j ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ch )
35	30, 34	sylan 267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ch )
36	35	adantll 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ch )
37	26, 36	jctild 299	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) )
38		simplll 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ph )
39		simplrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> th )
40		simplrl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ch )
41		cau3lem.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ph /\ th /\ ch ) -> ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) = ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) )
42	38, 39, 40, 41	syl3anc 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) = ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) )
43	42	breq1d 3774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ( ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) <-> ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
44	43	anbi2d 437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ( ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
45		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ps )
46		simpllr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> x e. RR+ )
47	46	rpred 8622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> x e. RR )
48		cau3lem.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ ( ps /\ th ) /\ ( ch /\ x e. RR ) ) -> ( ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
49	38, 45, 39, 40, 47, 48	syl122anc 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ( ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
50	44, 49	sylbid 139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ( ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
51	50	expd 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
52	51	impr 361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
53	52	an32s 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ch /\ th ) ) -> ( ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
54	53	anassrs 380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ch ) /\ th ) -> ( ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
55	54	expimpd 345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ch ) -> ( ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
56	55	ralimdv 2388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ch ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
57	56	impr 361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x )
58	57	an32s 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) /\ ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x )
59	58	expr 357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) /\ ps ) -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
60		uzss 8493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` j ) )
61		ssralv 3004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` j ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
62	60, 61	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
63	59, 62	sylan9 389	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) /\ ps ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
64	63	an32s 502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ps ) -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
65	64	expimpd 345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
66	65	ralimdva 2387	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
67	66	ex 108	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
68	67	com23 72	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
69	68	adantr 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
70	14, 69	syl5bir 142	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
71	70	expdimp 246	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
72	37, 71	mpdd 36	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
73	13, 72	sylan2 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
74	73	imdistanda 422	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
75		r19.26 2441	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
76		r19.26 2441	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) <-> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
77	74, 75, 76	3imtr4g 194	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
78	77	reximdva 2421	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
79	11, 78	syld 40	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. z e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
80	79	ralrimdva 2399	. . 3 |- ( ph -> ( A. z e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
81	4, 80	syl5bi 141	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
82		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ZZ>= ` k ) = ( ZZ>= ` j ) )
83	31	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) = ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) )
84	83	fveq2d 5182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) = ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) )
85	84	breq1d 3774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
86	82, 85	raleqbidv 2517	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x <-> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
87	86	rspcv 2652	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
88	87	ad2antlr 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
89		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = k -> ( F ` m ) = ( F ` k ) )
90	89	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = k -> ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) = ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) )
91	90	fveq2d 5182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = k -> ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) = ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) )
92	91	breq1d 3774	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = k -> ( ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x ) )
93	92	cbvralv 2533	. . . . . . . . . 10 |- ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x )
94	34	anim2i 324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( j e. ( ZZ>= ` j ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) ) -> ( ph /\ ch ) )
95	94	anassrs 380	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( ph /\ ch ) )
96		simpr 103	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps )
97		cau3lem.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ch /\ ps ) -> ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) = ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) )
98	97	breq1d 3774	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ch /\ ps ) -> ( ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
99	98	3expia 1106	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ch ) -> ( ps -> ( ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
100	99	ralimdv 2388	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ch ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
101	95, 96, 100	sylc 56	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
102		ralbi 2445	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
103	101, 102	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
104	93, 103	syl5bb 181	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
105	88, 104	sylibd 138	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
106	13, 105	sylan2 270	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
107	106	imdistanda 422	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
108	30, 107	sylan2 270	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
109		r19.26 2441	. . . . 5 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
110	108, 76, 109	3imtr4g 194	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
111	110	reximdva 2421	. . 3 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
112	111	ralimdv 2388	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
113	81, 112	impbid 120	1 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307   C_ wss 2917   class class class wbr 3764   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   RRcr 6888   < clt 7060   / cdiv 7651   2c2 7964   ZZcz 8245   ZZ>=cuz 8473   RR+crp 8583

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-2 7973  df-z 8246  df-uz 8474  df-rp 8584

This theorem is referenced by:  cau3  9711