Theorem bj-unexg 10041

Description: unexg 4178 from bounded separation. (Contributed by BJ, 13-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-unexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )

Proof of Theorem bj-unexg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq1 3090	. . 3 |- ( x = A -> ( x u. y ) = ( A u. y ) )
2		eleq1 2100	. . 3 |- ( ( x u. y ) = ( A u. y ) -> ( ( x u. y ) e. _V <-> ( A u. y ) e. _V ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( x = A -> ( ( x u. y ) e. _V <-> ( A u. y ) e. _V ) )
4		uneq2 3091	. . 3 |- ( y = B -> ( A u. y ) = ( A u. B ) )
5		eleq1 2100	. . 3 |- ( ( A u. y ) = ( A u. B ) -> ( ( A u. y ) e. _V <-> ( A u. B ) e. _V ) )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( y = B -> ( ( A u. y ) e. _V <-> ( A u. B ) e. _V ) )
7		vex 2560	. . 3 |- x e. _V
8		vex 2560	. . 3 |- y e. _V
9	7, 8	bj-unex 10039	. 2 |- ( x u. y ) e. _V
10	3, 6, 9	vtocl2g 2617	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   u. cun 2915

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-bd0 9933  ax-bdor 9936  ax-bdex 9939  ax-bdeq 9940  ax-bdel 9941  ax-bdsb 9942  ax-bdsep 10004

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-bdc 9961

This theorem is referenced by:  bj-sucexg  10042