Theorem bj-nn0sucALT 10103

Description: Alternate proof of bj-nn0suc 10089, also constructive but from ax-inf2 10101, hence requiring ax-bdsetind 10093. (Contributed by BJ, 8-Dec-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nn0sucALT	|- ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem bj-nn0sucALT

Dummy variables a y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-inf2 10101	. . 3 |- E. a A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) )
2		vex 2560	. . . . 5 |- a e. _V
3		bdcv 9968	. . . . . 6 |- BOUNDED a
4	3	bj-inf2vn 10099	. . . . 5 |- ( a e. _V -> ( A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) -> a = om ) )
5	2, 4	ax-mp 7	. . . 4 |- ( A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) -> a = om )
6		eleq2 2101	. . . . . . 7 |- ( a = om -> ( y e. a <-> y e. om ) )
7		rexeq 2506	. . . . . . . 8 |- ( a = om -> ( E. z e. a y = suc z <-> E. z e. om y = suc z ) )
8	7	orbi2d 704	. . . . . . 7 |- ( a = om -> ( ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) )
9	6, 8	bibi12d 224	. . . . . 6 |- ( a = om -> ( ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) <-> ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) ) )
10	9	albidv 1705	. . . . 5 |- ( a = om -> ( A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) <-> A. y ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) ) )
11		nfcv 2178	. . . . . . . 8 |- F/_ y A
12		nfv 1421	. . . . . . . 8 |- F/ y ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )
13		eleq1 2100	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( y e. om <-> A e. om ) )
14		eqeq1 2046	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = A -> ( y = (/) <-> A = (/) ) )
15		suceq 4139	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> suc z = suc x )
16	15	eqeq2d 2051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( y = suc z <-> y = suc x ) )
17	16	cbvrexv 2534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z e. om y = suc z <-> E. x e. om y = suc x )
18		eqeq1 2046	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = A -> ( y = suc x <-> A = suc x ) )
19	18	rexbidv 2327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = A -> ( E. x e. om y = suc x <-> E. x e. om A = suc x ) )
20	17, 19	syl5bb 181	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = A -> ( E. z e. om y = suc z <-> E. x e. om A = suc x ) )
21	14, 20	orbi12d 707	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
22	13, 21	bibi12d 224	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> ( ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) <-> ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) ) )
23		bi1 111	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) -> ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
24	22, 23	syl6bi 152	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) -> ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) ) )
25	11, 12, 24	spcimgf 2633	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( A. y ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) -> ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) ) )
26	25	pm2.43b 46	. . . . . 6 |- ( A. y ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) -> ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
27		peano1 4317	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
28		eleq1 2100	. . . . . . . 8 |- ( A = (/) -> ( A e. om <-> (/) e. om ) )
29	27, 28	mpbiri 157	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> A e. om )
30		bj-peano2 10063	. . . . . . . . 9 |- ( x e. om -> suc x e. om )
31		eleq1a 2109	. . . . . . . . . 10 |- ( suc x e. om -> ( A = suc x -> A e. om ) )
32	31	imp 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( suc x e. om /\ A = suc x ) -> A e. om )
33	30, 32	sylan 267	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. om /\ A = suc x ) -> A e. om )
34	33	rexlimiva 2428	. . . . . . 7 |- ( E. x e. om A = suc x -> A e. om )
35	29, 34	jaoi 636	. . . . . 6 |- ( ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) -> A e. om )
36	26, 35	impbid1 130	. . . . 5 |- ( A. y ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) -> ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
37	10, 36	syl6bi 152	. . . 4 |- ( a = om -> ( A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) -> ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) ) )
38	5, 37	mpcom 32	. . 3 |- ( A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) -> ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
39	1, 38	eximii 1493	. 2 |- E. a ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )
40		bj-ex 9902	. 2 |- ( E. a ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) -> ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
41	39, 40	ax-mp 7	1 |- ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 98   \/ wo 629   A.wal 1241   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   E.wrex 2307   _Vcvv 2557   (/)c0 3224   suc csuc 4102   omcom 4313

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-nul 3883  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-bd0 9933  ax-bdim 9934  ax-bdor 9936  ax-bdex 9939  ax-bdeq 9940  ax-bdel 9941  ax-bdsb 9942  ax-bdsep 10004  ax-bdsetind 10093  ax-inf2 10101

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-int 3616  df-suc 4108  df-iom 4314  df-bdc 9961  df-bj-ind 10051

This theorem is referenced by: (None)