Theorem bj-findis 9409

Description: Principle of induction, using implicit substitutions (the biconditional versions of the hypotheses are implicit substitutions, and we have weakened them to implications). Constructive proof (from CZF). See bj-bdfindis 9381 for a bounded version not requiring ax-setind 4220. See finds 4266 for a proof in IZF. From this version, it is easy to prove of finds 4266, finds2 4267, finds1 4268. (Contributed by BJ, 22-Dec-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-findis.nf0	|- F/xps
bj-findis.nf1	|- F/xch
bj-findis.nfsuc	|- F/xth
bj-findis.0	|- (x = (/) -> (ps -> ph))
bj-findis.1	|- (x = y -> (ph -> ch))
bj-findis.suc	|- (x = suc y -> (th -> ph))

Assertion

Ref	Expression
bj-findis	|- ((ps /\ A.y e. om (ch -> th)) -> A.x e. om ph)

Distinct variable groups:   x,y   ph,y

Allowed substitution hints:   ph(x)   ps(x,y)   ch(x,y)   th(x,y)

Proof of Theorem bj-findis

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nn0suc 9394	. . . . 5 |- (z e. om <-> (z = (/) \/ E.y e. om z = suc y))
2		pm3.21 251	. . . . . . . 8 |- (ps -> (z = (/) -> (z = (/) /\ ps)))
3	2	ad2antrr 457	. . . . . . 7 |- (((ps /\ A.y e. om (ch -> th)) /\ A.y e. z (y e. om -> ch)) -> (z = (/) -> (z = (/) /\ ps)))
4		pm2.04 76	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. z -> (y e. om -> ch)) -> (y e. om -> (y e. z -> ch)))
5	4	ralimi2 2375	. . . . . . . . . 10 |- (A.y e. z (y e. om -> ch) -> A.y e. om (y e. z -> ch))
6		imim2 49	. . . . . . . . . . . 12 |- ((ch -> th) -> ((y e. z -> ch) -> (y e. z -> th)))
7	6	ral2imi 2379	. . . . . . . . . . 11 |- (A.y e. om (ch -> th) -> (A.y e. om (y e. z -> ch) -> A.y e. om (y e. z -> th)))
8	7	imp 115	. . . . . . . . . 10 |- ((A.y e. om (ch -> th) /\ A.y e. om (y e. z -> ch)) -> A.y e. om (y e. z -> th))
9	5, 8	sylan2 270	. . . . . . . . 9 |- ((A.y e. om (ch -> th) /\ A.y e. z (y e. om -> ch)) -> A.y e. om (y e. z -> th))
10		r19.29 2444	. . . . . . . . . . 11 |- ((A.y e. om (y e. z -> th) /\ E.y e. om z = suc y) -> E.y e. om ((y e. z -> th) /\ z = suc y))
11		vex 2554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
12	11	sucid 4120	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. suc y
13		eleq2 2098	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z = suc y -> (y e. z <-> y e. suc y))
14	12, 13	mpbiri 157	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = suc y -> y e. z)
15		ax-1 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z = suc y -> ((y e. z -> th) -> z = suc y))
16		pm2.27 35	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y e. z -> ((y e. z -> th) -> th))
17	15, 16	anim12ii 325	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z = suc y /\ y e. z) -> ((y e. z -> th) -> (z = suc y /\ th)))
18	14, 17	mpdan 398	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = suc y -> ((y e. z -> th) -> (z = suc y /\ th)))
19	18	impcom 116	. . . . . . . . . . . 12 |- (((y e. z -> th) /\ z = suc y) -> (z = suc y /\ th))
20	19	reximi 2410	. . . . . . . . . . 11 |- (E.y e. om ((y e. z -> th) /\ z = suc y) -> E.y e. om (z = suc y /\ th))
21	10, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ((A.y e. om (y e. z -> th) /\ E.y e. om z = suc y) -> E.y e. om (z = suc y /\ th))
22	21	ex 108	. . . . . . . . 9 |- (A.y e. om (y e. z -> th) -> (E.y e. om z = suc y -> E.y e. om (z = suc y /\ th)))
23	9, 22	syl 14	. . . . . . . 8 |- ((A.y e. om (ch -> th) /\ A.y e. z (y e. om -> ch)) -> (E.y e. om z = suc y -> E.y e. om (z = suc y /\ th)))
24	23	adantll 445	. . . . . . 7 |- (((ps /\ A.y e. om (ch -> th)) /\ A.y e. z (y e. om -> ch)) -> (E.y e. om z = suc y -> E.y e. om (z = suc y /\ th)))
25	3, 24	orim12d 699	. . . . . 6 |- (((ps /\ A.y e. om (ch -> th)) /\ A.y e. z (y e. om -> ch)) -> ((z = (/) \/ E.y e. om z = suc y) -> ((z = (/) /\ ps) \/ E.y e. om (z = suc y /\ th))))
26	25	ex 108	. . . . 5 |- ((ps /\ A.y e. om (ch -> th)) -> (A.y e. z (y e. om -> ch) -> ((z = (/) \/ E.y e. om z = suc y) -> ((z = (/) /\ ps) \/ E.y e. om (z = suc y /\ th)))))
27	1, 26	syl7bi 154	. . . 4 |- ((ps /\ A.y e. om (ch -> th)) -> (A.y e. z (y e. om -> ch) -> (z e. om -> ((z = (/) /\ ps) \/ E.y e. om (z = suc y /\ th)))))
28	27	alrimiv 1751	. . 3 |- ((ps /\ A.y e. om (ch -> th)) -> A.z(A.y e. z (y e. om -> ch) -> (z e. om -> ((z = (/) /\ ps) \/ E.y e. om (z = suc y /\ th)))))
29		nfv 1418	. . . . 5 |- F/x y e. om
30		bj-findis.nf1	. . . . 5 |- F/xch
31	29, 30	nfim 1461	. . . 4 |- F/x(y e. om -> ch)
32		nfv 1418	. . . . 5 |- F/x z e. om
33		nfv 1418	. . . . . . 7 |- F/x z = (/)
34		bj-findis.nf0	. . . . . . 7 |- F/xps
35	33, 34	nfan 1454	. . . . . 6 |- F/x(z = (/) /\ ps)
36		nfcv 2175	. . . . . . 7 |- F/_x om
37		nfv 1418	. . . . . . . 8 |- F/x z = suc y
38		bj-findis.nfsuc	. . . . . . . 8 |- F/xth
39	37, 38	nfan 1454	. . . . . . 7 |- F/x(z = suc y /\ th)
40	36, 39	nfrexxy 2355	. . . . . 6 |- F/xE.y e. om (z = suc y /\ th)
41	35, 40	nfor 1463	. . . . 5 |- F/x((z = (/) /\ ps) \/ E.y e. om (z = suc y /\ th))
42	32, 41	nfim 1461	. . . 4 |- F/x(z e. om -> ((z = (/) /\ ps) \/ E.y e. om (z = suc y /\ th)))
43		nfv 1418	. . . 4 |- F/z(x e. om -> ph)
44		nfv 1418	. . . 4 |- F/z(y e. om -> ch)
45		eleq1 2097	. . . . . 6 |- (x = y -> (x e. om <-> y e. om))
46	45	biimprd 147	. . . . 5 |- (x = y -> (y e. om -> x e. om))
47		bj-findis.1	. . . . 5 |- (x = y -> (ph -> ch))
48	46, 47	imim12d 68	. . . 4 |- (x = y -> ((x e. om -> ph) -> (y e. om -> ch)))
49		eleq1 2097	. . . . . 6 |- (x = z -> (x e. om <-> z e. om))
50	49	biimpd 132	. . . . 5 |- (x = z -> (x e. om -> z e. om))
51		eqtr 2054	. . . . . . . 8 |- ((x = z /\ z = (/)) -> x = (/))
52		bj-findis.0	. . . . . . . 8 |- (x = (/) -> (ps -> ph))
53	51, 52	syl 14	. . . . . . 7 |- ((x = z /\ z = (/)) -> (ps -> ph))
54	53	expimpd 345	. . . . . 6 |- (x = z -> ((z = (/) /\ ps) -> ph))
55		eqtr 2054	. . . . . . . . 9 |- ((x = z /\ z = suc y) -> x = suc y)
56		bj-findis.suc	. . . . . . . . 9 |- (x = suc y -> (th -> ph))
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . 8 |- ((x = z /\ z = suc y) -> (th -> ph))
58	57	expimpd 345	. . . . . . 7 |- (x = z -> ((z = suc y /\ th) -> ph))
59	58	rexlimdvw 2430	. . . . . 6 |- (x = z -> (E.y e. om (z = suc y /\ th) -> ph))
60	54, 59	jaod 636	. . . . 5 |- (x = z -> (((z = (/) /\ ps) \/ E.y e. om (z = suc y /\ th)) -> ph))
61	50, 60	imim12d 68	. . . 4 |- (x = z -> ((z e. om -> ((z = (/) /\ ps) \/ E.y e. om (z = suc y /\ th))) -> (x e. om -> ph)))
62	31, 42, 43, 44, 48, 61	setindis 9397	. . 3 |- (A.z(A.y e. z (y e. om -> ch) -> (z e. om -> ((z = (/) /\ ps) \/ E.y e. om (z = suc y /\ th)))) -> A.x(x e. om -> ph))
63	28, 62	syl 14	. 2 |- ((ps /\ A.y e. om (ch -> th)) -> A.x(x e. om -> ph))
64		df-ral 2305	. 2 |- (A.x e. om ph <-> A.x(x e. om -> ph))
65	63, 64	sylibr 137	1 |- ((ps /\ A.y e. om (ch -> th)) -> A.x e. om ph)

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   \/ wo 628  A.wal 1240   = wceq 1242   F/wnf 1346   e. wcel 1390  A.wral 2300  E.wrex 2301   (/)c0 3218   suc csuc 4068   omcom 4256

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-nul 3874  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-bd0 9248  ax-bdim 9249  ax-bdan 9250  ax-bdor 9251  ax-bdn 9252  ax-bdal 9253  ax-bdex 9254  ax-bdeq 9255  ax-bdel 9256  ax-bdsb 9257  ax-bdsep 9319  ax-infvn 9375

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-int 3607  df-suc 4074  df-iom 4257  df-bdc 9276  df-bj-ind 9362

This theorem is referenced by:  bj-findisg  9410  bj-findes  9411