Theorem bj-2inf 9397

Description: Two formulations of the axiom of infinity (see ax-infvn 9401 and bj-omex 9402) . (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-2inf	|- ( om e. _V <-> E.x(Ind x /\ A.y(Ind y -> x C_ y)))

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem bj-2inf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2037	. . . 4 |- om = om
2		bj-om 9396	. . . 4 |- ( om e. _V -> ( om = om <-> (Ind om /\ A.y(Ind y -> om C_ y))))
3	1, 2	mpbii 136	. . 3 |- ( om e. _V -> (Ind om /\ A.y(Ind y -> om C_ y)))
4		bj-indeq 9388	. . . . 5 |- (x = om -> (Ind x <-> Ind om))
5		sseq1 2960	. . . . . . 7 |- (x = om -> (x C_ y <-> om C_ y))
6	5	imbi2d 219	. . . . . 6 |- (x = om -> ((Ind y -> x C_ y) <-> (Ind y -> om C_ y)))
7	6	albidv 1702	. . . . 5 |- (x = om -> (A.y(Ind y -> x C_ y) <-> A.y(Ind y -> om C_ y)))
8	4, 7	anbi12d 442	. . . 4 |- (x = om -> ((Ind x /\ A.y(Ind y -> x C_ y)) <-> (Ind om /\ A.y(Ind y -> om C_ y))))
9	8	spcegv 2635	. . 3 |- ( om e. _V -> ((Ind om /\ A.y(Ind y -> om C_ y)) -> E.x(Ind x /\ A.y(Ind y -> x C_ y))))
10	3, 9	mpd 13	. 2 |- ( om e. _V -> E.x(Ind x /\ A.y(Ind y -> x C_ y)))
11		vex 2554	. . . . . 6 |- x e. _V
12		bj-om 9396	. . . . . 6 |- (x e. _V -> (x = om <-> (Ind x /\ A.y(Ind y -> x C_ y))))
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . 5 |- (x = om <-> (Ind x /\ A.y(Ind y -> x C_ y)))
14	13	biimpri 124	. . . 4 |- ((Ind x /\ A.y(Ind y -> x C_ y)) -> x = om)
15	14	eximi 1488	. . 3 |- (E.x(Ind x /\ A.y(Ind y -> x C_ y)) -> E.x x = om)
16		isset 2555	. . 3 |- ( om e. _V <-> E.x x = om)
17	15, 16	sylibr 137	. 2 |- (E.x(Ind x /\ A.y(Ind y -> x C_ y)) -> om e. _V)
18	10, 17	impbii 117	1 |- ( om e. _V <-> E.x(Ind x /\ A.y(Ind y -> x C_ y)))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98  A.wal 1240   = wceq 1242  E.wex 1378   e. wcel 1390   _Vcvv 2551   C_ wss 2911   omcom 4256  Ind wind 9385

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-nul 3874  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-bd0 9268  ax-bdor 9271  ax-bdex 9274  ax-bdeq 9275  ax-bdel 9276  ax-bdsb 9277  ax-bdsep 9339

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-int 3607  df-suc 4074  df-iom 4257  df-bdc 9296  df-bj-ind 9386

This theorem is referenced by:  bj-omex  9402