Theorem binom3 9366

Description: The cube of a binomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
binom3	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ 3 ) = ( ( ( A ^ 3 ) + ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )

Proof of Theorem binom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 7974	. . . 4 |- 3 = ( 2 + 1 )
2	1	oveq2i 5523	. . 3 |- ( ( A + B ) ^ 3 ) = ( ( A + B ) ^ ( 2 + 1 ) )
3		addcl 7006	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
4		2nn0 8198	. . . 4 |- 2 e. NN0
5		expp1 9262	. . . 4 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( A + B ) ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. ( A + B ) ) )
6	3, 4, 5	sylancl 392	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. ( A + B ) ) )
7	2, 6	syl5eq 2084	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ 3 ) = ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. ( A + B ) ) )
8		sqcl 9315	. . . . 5 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( ( A + B ) ^ 2 ) e. CC )
9	3, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ 2 ) e. CC )
10		simpl 102	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
11		simpr 103	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
12	9, 10, 11	adddid 7051	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. ( A + B ) ) = ( ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. A ) + ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. B ) ) )
13		binom2 9362	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ 2 ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) )
14	13	oveq1d 5527	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. A ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) x. A ) )
15		sqcl 9315	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) e. CC )
16	10, 15	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
17		2cn 7986	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
18		mulcl 7008	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
19		mulcl 7008	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ ( A x. B ) e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. B ) ) e. CC )
20	17, 18, 19	sylancr 393	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. B ) ) e. CC )
21	16, 20	addcld 7046	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) e. CC )
22		sqcl 9315	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( B ^ 2 ) e. CC )
23	11, 22	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
24	21, 23, 10	adddird 7052	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) x. A ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. A ) + ( ( B ^ 2 ) x. A ) ) )
25	16, 20, 10	adddird 7052	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. A ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. A ) + ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. A ) ) )
26	1	oveq2i 5523	. . . . . . . . 9 |- ( A ^ 3 ) = ( A ^ ( 2 + 1 ) )
27		expp1 9262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( A ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. A ) )
28	10, 4, 27	sylancl 392	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. A ) )
29	26, 28	syl5eq 2084	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 3 ) = ( ( A ^ 2 ) x. A ) )
30		sqval 9312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) = ( A x. A ) )
31	10, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 2 ) = ( A x. A ) )
32	31	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) x. B ) = ( ( A x. A ) x. B ) )
33	10, 10, 11	mul32d 7166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A x. A ) x. B ) = ( ( A x. B ) x. A ) )
34	32, 33	eqtrd 2072	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) x. B ) = ( ( A x. B ) x. A ) )
35	34	oveq2d 5528	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( 2 x. ( ( A x. B ) x. A ) ) )
36		2cnd 7988	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 2 e. CC )
37	36, 18, 10	mulassd 7050	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. A ) = ( 2 x. ( ( A x. B ) x. A ) ) )
38	35, 37	eqtr4d 2075	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. A ) )
39	29, 38	oveq12d 5530	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. A ) + ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. A ) ) )
40	25, 39	eqtr4d 2075	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. A ) = ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
41	23, 10	mulcomd 7048	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( B ^ 2 ) x. A ) = ( A x. ( B ^ 2 ) ) )
42	40, 41	oveq12d 5530	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. A ) + ( ( B ^ 2 ) x. A ) ) = ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) )
43	14, 24, 42	3eqtrd 2076	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. A ) = ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) )
44	13	oveq1d 5527	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. B ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) x. B ) )
45	21, 23, 11	adddird 7052	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) x. B ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. B ) + ( ( B ^ 2 ) x. B ) ) )
46		sqval 9312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. CC -> ( B ^ 2 ) = ( B x. B ) )
47	11, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ 2 ) = ( B x. B ) )
48	47	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. ( B ^ 2 ) ) = ( A x. ( B x. B ) ) )
49	10, 11, 11	mulassd 7050	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A x. B ) x. B ) = ( A x. ( B x. B ) ) )
50	48, 49	eqtr4d 2075	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. ( B ^ 2 ) ) = ( ( A x. B ) x. B ) )
51	50	oveq2d 5528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( A x. B ) x. B ) ) )
52	36, 18, 11	mulassd 7050	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. B ) = ( 2 x. ( ( A x. B ) x. B ) ) )
53	51, 52	eqtr4d 2075	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. B ) )
54	53	oveq2d 5528	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. B ) ) )
55	16, 20, 11	adddird 7052	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. B ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. B ) ) )
56	54, 55	eqtr4d 2075	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. B ) )
57	1	oveq2i 5523	. . . . . . . 8 |- ( B ^ 3 ) = ( B ^ ( 2 + 1 ) )
58		expp1 9262	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( B ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( B ^ 2 ) x. B ) )
59	11, 4, 58	sylancl 392	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( B ^ 2 ) x. B ) )
60	57, 59	syl5eq 2084	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ 3 ) = ( ( B ^ 2 ) x. B ) )
61	56, 60	oveq12d 5530	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. B ) + ( ( B ^ 2 ) x. B ) ) )
62	16, 11	mulcld 7047	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) x. B ) e. CC )
63	10, 23	mulcld 7047	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. ( B ^ 2 ) ) e. CC )
64		mulcl 7008	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ ( A x. ( B ^ 2 ) ) e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) e. CC )
65	17, 63, 64	sylancr 393	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) e. CC )
66		3nn0 8199	. . . . . . . 8 |- 3 e. NN0
67		expcl 9273	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. CC /\ 3 e. NN0 ) -> ( B ^ 3 ) e. CC )
68	11, 66, 67	sylancl 392	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ 3 ) e. CC )
69	62, 65, 68	addassd 7049	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )
70	61, 69	eqtr3d 2074	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. B ) + ( ( B ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )
71	44, 45, 70	3eqtrd 2076	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. B ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )
72	43, 71	oveq12d 5530	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. A ) + ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) ) )
73		expcl 9273	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ 3 e. NN0 ) -> ( A ^ 3 ) e. CC )
74	10, 66, 73	sylancl 392	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 3 ) e. CC )
75		mulcl 7008	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( A ^ 2 ) x. B ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) e. CC )
76	17, 62, 75	sylancr 393	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) e. CC )
77	74, 76	addcld 7046	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) e. CC )
78	65, 68	addcld 7046	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) e. CC )
79	77, 63, 62, 78	add4d 7180	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) ) )
80	12, 72, 79	3eqtrd 2076	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. ( A + B ) ) = ( ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) ) )
81	74, 76, 62	addassd 7049	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( A ^ 3 ) + ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
82	1	oveq1i 5522	. . . . . . 7 |- ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( 2 + 1 ) x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) )
83		1cnd 7043	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 1 e. CC )
84	36, 83, 62	adddird 7052	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 + 1 ) x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( 1 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
85	82, 84	syl5eq 2084	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( 1 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
86	62	mulid2d 7045	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 1 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. B ) )
87	86	oveq2d 5528	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( 1 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) )
88	85, 87	eqtrd 2072	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) )
89	88	oveq2d 5528	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 3 ) + ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) = ( ( A ^ 3 ) + ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
90	81, 89	eqtr4d 2075	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( A ^ 3 ) + ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
91		1p2e3 8044	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 2 ) = 3
92	91	oveq1i 5522	. . . . . . 7 |- ( ( 1 + 2 ) x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) )
93	83, 36, 63	adddird 7052	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 1 + 2 ) x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( 1 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) )
94	92, 93	syl5eqr 2086	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( 1 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) )
95	63	mulid2d 7045	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 1 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( A x. ( B ^ 2 ) ) )
96	95	oveq1d 5527	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 1 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) = ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) )
97	94, 96	eqtrd 2072	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) )
98	97	oveq1d 5527	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) = ( ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) )
99	63, 65, 68	addassd 7049	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) = ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )
100	98, 99	eqtr2d 2073	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) = ( ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) )
101	90, 100	oveq12d 5530	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) ) = ( ( ( A ^ 3 ) + ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )
102	7, 80, 101	3eqtrd 2076	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ 3 ) = ( ( ( A ^ 3 ) + ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393  (class class class)co 5512   CCcc 6887   1c1 6890   + caddc 6892   x. cmul 6894   2c2 7964   3c3 7965   NN0cn0 8181   ^cexp 9254

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-iseq 9212  df-iexp 9255

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