Theorem bdbm1.3ii 10011

Description: Bounded version of bm1.3ii 3878. (Contributed by BJ, 5-Oct-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bdbm1.3ii.bd	|- BOUNDED ph
bdbm1.3ii.1	|- E. x A. y ( ph -> y e. x )

Assertion

Ref	Expression
bdbm1.3ii	|- E. x A. y ( y e. x <-> ph )

Distinct variable groups:   ph, x   x, y

Allowed substitution hint:   ph( y)

Proof of Theorem bdbm1.3ii

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdbm1.3ii.1	. . . . 5 |- E. x A. y ( ph -> y e. x )
2		elequ2 1601	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( y e. x <-> y e. z ) )
3	2	imbi2d 219	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( ph -> y e. x ) <-> ( ph -> y e. z ) ) )
4	3	albidv 1705	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( A. y ( ph -> y e. x ) <-> A. y ( ph -> y e. z ) ) )
5	4	cbvexv 1795	. . . . 5 |- ( E. x A. y ( ph -> y e. x ) <-> E. z A. y ( ph -> y e. z ) )
6	1, 5	mpbi 133	. . . 4 |- E. z A. y ( ph -> y e. z )
7		bdbm1.3ii.bd	. . . . 5 |- BOUNDED ph
8	7	bdsep1 10005	. . . 4 |- E. x A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) )
9	6, 8	pm3.2i 257	. . 3 |- ( E. z A. y ( ph -> y e. z ) /\ E. x A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) )
10	9	exan 1583	. 2 |- E. z ( A. y ( ph -> y e. z ) /\ E. x A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) )
11		19.42v 1786	. . . 4 |- ( E. x ( A. y ( ph -> y e. z ) /\ A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) ) <-> ( A. y ( ph -> y e. z ) /\ E. x A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) ) )
12		bimsc1 870	. . . . . 6 |- ( ( ( ph -> y e. z ) /\ ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) ) -> ( y e. x <-> ph ) )
13	12	alanimi 1348	. . . . 5 |- ( ( A. y ( ph -> y e. z ) /\ A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) ) -> A. y ( y e. x <-> ph ) )
14	13	eximi 1491	. . . 4 |- ( E. x ( A. y ( ph -> y e. z ) /\ A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) ) -> E. x A. y ( y e. x <-> ph ) )
15	11, 14	sylbir 125	. . 3 |- ( ( A. y ( ph -> y e. z ) /\ E. x A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) ) -> E. x A. y ( y e. x <-> ph ) )
16	15	exlimiv 1489	. 2 |- ( E. z ( A. y ( ph -> y e. z ) /\ E. x A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) ) -> E. x A. y ( y e. x <-> ph ) )
17	10, 16	ax-mp 7	1 |- E. x A. y ( y e. x <-> ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   A.wal 1241   E.wex 1381  BOUNDED wbd 9932

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-bdsep 10004

This theorem depends on definitions:  df-bi 110

This theorem is referenced by:  bj-zfpair2  10030  bj-axun2  10035  bj-uniex2  10036