Theorem axcnex 6935

Description: The complex numbers form a set. Use cnex 7005 instead. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axcnex	|- CC e. _V

Proof of Theorem axcnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 6895	. 2 |- CC = ( R. X. R. )
2		df-nr 6812	. . . 4 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
3		npex 6571	. . . . . . 7 |- P. e. _V
4	3, 3	xpex 4453	. . . . . 6 |- ( P. X. P. ) e. _V
5	4	pwex 3932	. . . . 5 |- ~P ( P. X. P. ) e. _V
6		enrer 6820	. . . . . . . 8 |- ~R Er ( P. X. P. )
7	6	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> ~R Er ( P. X. P. ) )
8	7	qsss 6165	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( P. X. P. ) /. ~R ) C_ ~P ( P. X. P. ) )
9	8	trud 1252	. . . . 5 |- ( ( P. X. P. ) /. ~R ) C_ ~P ( P. X. P. )
10	5, 9	ssexi 3895	. . . 4 |- ( ( P. X. P. ) /. ~R ) e. _V
11	2, 10	eqeltri 2110	. . 3 |- R. e. _V
12	11, 11	xpex 4453	. 2 |- ( R. X. R. ) e. _V
13	1, 12	eqeltri 2110	1 |- CC e. _V

Syntax hints:   T. wtru 1244   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   C_ wss 2917   ~Pcpw 3359   X. cxp 4343   Er wer 6103   /.cqs 6105   P.cnp 6389   ~R cer 6394   R.cnr 6395   CCcc 6887

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-iplp 6566  df-enr 6811  df-nr 6812  df-c 6895

This theorem is referenced by:  peano5nnnn  6966