Theorem apadd1 7392

Description: Addition respects apartness. Analogue of addcan 6988 for apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
apadd1	|- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) -> (A # B <-> (A + C) # (B + C)))

Proof of Theorem apadd1

Dummy variables u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 6821	. . 3 |- ( C e. CC -> E.u e. RR E.v e. RR C = (u + ( _i x. v)))
2	1	3ad2ant3 926	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) -> E.u e. RR E.v e. RR C = (u + ( _i x. v)))
3		cnre 6821	. . . . . . 7 |- (B e. CC -> E.z e. RR E.w e. RR B = (z + ( _i x. w)))
4	3	3ad2ant2 925	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) -> E.z e. RR E.w e. RR B = (z + ( _i x. w)))
5	4	ad2antrr 457	. . . . 5 |- ((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) -> E.z e. RR E.w e. RR B = (z + ( _i x. w)))
6		cnre 6821	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. CC -> E.x e. RR E.y e. RR A = (x + ( _i x. y)))
7	6	3ad2ant1 924	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) -> E.x e. RR E.y e. RR A = (x + ( _i x. y)))
8	7	ad2antrr 457	. . . . . . . . 9 |- ((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) -> E.x e. RR E.y e. RR A = (x + ( _i x. y)))
9	8	ad2antrr 457	. . . . . . . 8 |- ((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) -> E.x e. RR E.y e. RR A = (x + ( _i x. y)))
10		simplrl 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> x e. RR)
11		simplrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> y e. RR)
12		simprl 483	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) -> z e. RR)
13	12	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> z e. RR)
14		simprr 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) -> w e. RR)
15	14	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> w e. RR)
16		apreim 7387	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. RR /\ y e. RR) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) -> ((x + ( _i x. y)) # (z + ( _i x. w)) <-> (x # z \/ y # w)))
17	10, 11, 13, 15, 16	syl22anc 1135	. . . . . . . . . . 11 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> ((x + ( _i x. y)) # (z + ( _i x. w)) <-> (x # z \/ y # w)))
18		simpr 103	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> A = (x + ( _i x. y)))
19		simpllr 486	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> B = (z + ( _i x. w)))
20	18, 19	breq12d 3768	. . . . . . . . . . 11 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> (A # B <-> (x + ( _i x. y)) # (z + ( _i x. w))))
21		simprl 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) -> u e. RR)
22	21	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) -> u e. RR)
23	22	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> u e. RR)
24	10, 23	readdcld 6852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> (x + u) e. RR)
25		simprr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) -> v e. RR)
26	25	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) -> v e. RR)
27	26	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> v e. RR)
28	11, 27	readdcld 6852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> (y + v) e. RR)
29	13, 23	readdcld 6852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> (z + u) e. RR)
30	15, 27	readdcld 6852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> (w + v) e. RR)
31		apreim 7387	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((x + u) e. RR /\ (y + v) e. RR) /\ ((z + u) e. RR /\ (w + v) e. RR)) -> (((x + u) + ( _i x. (y + v))) # ((z + u) + ( _i x. (w + v))) <-> ((x + u) # (z + u) \/ (y + v) # (w + v))))
32	24, 28, 29, 30, 31	syl22anc 1135	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> (((x + u) + ( _i x. (y + v))) # ((z + u) + ( _i x. (w + v))) <-> ((x + u) # (z + u) \/ (y + v) # (w + v))))
33	10	recnd 6851	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> x e. CC)
34		ax-icn 6778	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- _i e. CC
35	34	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> _i e. CC)
36	11	recnd 6851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> y e. CC)
37	35, 36	mulcld 6845	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> ( _i x. y) e. CC)
38	23	recnd 6851	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> u e. CC)
39	27	recnd 6851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> v e. CC)
40	35, 39	mulcld 6845	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> ( _i x. v) e. CC)
41	33, 37, 38, 40	add4d 6977	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> ((x + ( _i x. y)) + (u + ( _i x. v))) = ((x + u) + (( _i x. y) + ( _i x. v))))
42		simplr 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) -> C = (u + ( _i x. v)))
43	42	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> C = (u + ( _i x. v)))
44	18, 43	oveq12d 5473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> (A + C) = ((x + ( _i x. y)) + (u + ( _i x. v))))
45	35, 36, 39	adddid 6849	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> ( _i x. (y + v)) = (( _i x. y) + ( _i x. v)))
46	45	oveq2d 5471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> ((x + u) + ( _i x. (y + v))) = ((x + u) + (( _i x. y) + ( _i x. v))))
47	41, 44, 46	3eqtr4d 2079	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> (A + C) = ((x + u) + ( _i x. (y + v))))
48	13	recnd 6851	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> z e. CC)
49	15	recnd 6851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> w e. CC)
50	35, 49	mulcld 6845	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> ( _i x. w) e. CC)
51	48, 50, 38, 40	add4d 6977	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> ((z + ( _i x. w)) + (u + ( _i x. v))) = ((z + u) + (( _i x. w) + ( _i x. v))))
52	19, 43	oveq12d 5473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> (B + C) = ((z + ( _i x. w)) + (u + ( _i x. v))))
53	35, 49, 39	adddid 6849	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> ( _i x. (w + v)) = (( _i x. w) + ( _i x. v)))
54	53	oveq2d 5471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> ((z + u) + ( _i x. (w + v))) = ((z + u) + (( _i x. w) + ( _i x. v))))
55	51, 52, 54	3eqtr4d 2079	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> (B + C) = ((z + u) + ( _i x. (w + v))))
56	47, 55	breq12d 3768	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> ((A + C) # (B + C) <-> ((x + u) + ( _i x. (y + v))) # ((z + u) + ( _i x. (w + v)))))
57		reapadd1 7380	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. RR /\ z e. RR /\ u e. RR) -> (x # z <-> (x + u) # (z + u)))
58	10, 13, 23, 57	syl3anc 1134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> (x # z <-> (x + u) # (z + u)))
59		reapadd1 7380	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. RR /\ w e. RR /\ v e. RR) -> (y # w <-> (y + v) # (w + v)))
60	11, 15, 27, 59	syl3anc 1134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> (y # w <-> (y + v) # (w + v)))
61	58, 60	orbi12d 706	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> ((x # z \/ y # w) <-> ((x + u) # (z + u) \/ (y + v) # (w + v))))
62	32, 56, 61	3bitr4d 209	. . . . . . . . . . 11 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> ((A + C) # (B + C) <-> (x # z \/ y # w)))
63	17, 20, 62	3bitr4d 209	. . . . . . . . . 10 |- ((((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) /\ A = (x + ( _i x. y))) -> (A # B <-> (A + C) # (B + C)))
64	63	ex 108	. . . . . . . . 9 |- (((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) /\ (x e. RR /\ y e. RR)) -> (A = (x + ( _i x. y)) -> (A # B <-> (A + C) # (B + C))))
65	64	rexlimdvva 2434	. . . . . . . 8 |- ((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) -> (E.x e. RR E.y e. RR A = (x + ( _i x. y)) -> (A # B <-> (A + C) # (B + C))))
66	9, 65	mpd 13	. . . . . . 7 |- ((((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) /\ B = (z + ( _i x. w))) -> (A # B <-> (A + C) # (B + C)))
67	66	ex 108	. . . . . 6 |- (((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) -> (B = (z + ( _i x. w)) -> (A # B <-> (A + C) # (B + C))))
68	67	rexlimdvva 2434	. . . . 5 |- ((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) -> (E.z e. RR E.w e. RR B = (z + ( _i x. w)) -> (A # B <-> (A + C) # (B + C))))
69	5, 68	mpd 13	. . . 4 |- ((((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) /\ C = (u + ( _i x. v))) -> (A # B <-> (A + C) # (B + C)))
70	69	ex 108	. . 3 |- (((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ (u e. RR /\ v e. RR)) -> ( C = (u + ( _i x. v)) -> (A # B <-> (A + C) # (B + C))))
71	70	rexlimdvva 2434	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) -> (E.u e. RR E.v e. RR C = (u + ( _i x. v)) -> (A # B <-> (A + C) # (B + C))))
72	2, 71	mpd 13	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) -> (A # B <-> (A + C) # (B + C)))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   \/ wo 628   /\ w3a 884   = wceq 1242   e. wcel 1390  E.wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   CCcc 6709   RRcr 6710   _ici 6713   + caddc 6714   x. cmul 6716   # cap 7365

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-ltxr 6862  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366

This theorem is referenced by:  apadd2  7393  addext  7394