ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addnqprlemfu Unicode version

Theorem addnqprlemfu 6541
Description: Lemma for addnqpr 6542. The forward subset relationship for the upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
addnqprlemfu  Q.  Q.  2nd `  <. { l  |  l  <Q  +Q  } ,  {  |  +Q  <Q  } >. 
C_  2nd `  <. { l  |  l 
<Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.
Distinct variable groups:   , l,   , l,

Proof of Theorem addnqprlemfu
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addnqprlemrl 6538 . . . . . 6  Q.  Q.  1st `  <. { l  |  l 
<Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  C_  1st `  <. { l  |  l  <Q  +Q  } ,  {  |  +Q  <Q  } >.
2 ltsonq 6382 . . . . . . . . 9  <Q  Or  Q.
3 addclnq 6359 . . . . . . . . 9  Q.  Q.  +Q  Q.
4 sonr 4045 . . . . . . . . 9 
<Q  Or  Q.  +Q 
Q.  +Q  <Q  +Q
52, 3, 4sylancr 393 . . . . . . . 8  Q.  Q.  +Q  <Q  +Q
6 ltrelnq 6349 . . . . . . . . . . . 12  <Q  C_  Q.  X.  Q.
76brel 4335 . . . . . . . . . . 11  +Q 
<Q  +Q  +Q 
Q.  +Q  Q.
87simpld 105 . . . . . . . . . 10  +Q 
<Q  +Q  +Q  Q.
9 elex 2560 . . . . . . . . . 10  +Q  Q.  +Q 
_V
108, 9syl 14 . . . . . . . . 9  +Q 
<Q  +Q  +Q  _V
11 breq1 3758 . . . . . . . . 9  l  +Q 
l  <Q  +Q  +Q  <Q  +Q
1210, 11elab3 2688 . . . . . . . 8  +Q  { l  |  l  <Q  +Q  }  +Q  <Q  +Q
135, 12sylnibr 601 . . . . . . 7  Q.  Q.  +Q  { l  |  l  <Q  +Q  }
14 ltnqex 6531 . . . . . . . . 9  { l  |  l  <Q  +Q  }  _V
15 gtnqex 6532 . . . . . . . . 9  {  |  +Q  <Q  }  _V
1614, 15op1st 5715 . . . . . . . 8  1st `  <. { l  |  l  <Q  +Q  } ,  {  |  +Q  <Q  } >.  {
l  |  l  <Q  +Q  }
1716eleq2i 2101 . . . . . . 7  +Q  1st `  <. { l  |  l  <Q  +Q  } ,  {  |  +Q  <Q  } >.  +Q  { l  |  l  <Q  +Q  }
1813, 17sylnibr 601 . . . . . 6  Q.  Q.  +Q  1st `  <. { l  |  l  <Q  +Q  } ,  {  |  +Q  <Q  } >.
191, 18ssneldd 2942 . . . . 5  Q.  Q.  +Q  1st `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.
2019adantr 261 . . . 4  Q.  Q.  r  2nd `  <. { l  |  l  <Q  +Q  } ,  {  |  +Q  <Q  } >.  +Q  1st `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.
21 nqprlu 6530 . . . . . . . 8  Q.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  P.
22 nqprlu 6530 . . . . . . . 8  Q.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  P.
23 addclpr 6520 . . . . . . . 8 
<. { l  |  l 
<Q  } ,  {  |  <Q  } >.  P. 
<. { l  |  l 
<Q  } ,  {  |  <Q  } >.  P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  P.
2421, 22, 23syl2an 273 . . . . . . 7  Q.  Q.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  P.
25 prop 6458 . . . . . . 7 
<. { l  |  l 
<Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  P.  <. 1st `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >. ,  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >. >.  P.
2624, 25syl 14 . . . . . 6  Q.  Q.  <. 1st `  <. { l  |  l 
<Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >. ,  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >. >.  P.
27 vex 2554 . . . . . . . 8  r 
_V
28 breq2 3759 . . . . . . . 8  r  +Q  <Q  +Q  <Q  r
2914, 15op2nd 5716 . . . . . . . 8  2nd `  <. { l  |  l  <Q  +Q  } ,  {  |  +Q  <Q  } >.  {  |  +Q  <Q  }
3027, 28, 29elab2 2684 . . . . . . 7  r  2nd `  <. { l  |  l  <Q  +Q  } ,  {  |  +Q  <Q  } >.  +Q  <Q  r
3130biimpi 113 . . . . . 6  r  2nd `  <. { l  |  l  <Q  +Q  } ,  {  |  +Q  <Q  } >.  +Q  <Q  r
32 prloc 6474 . . . . . 6 
<. 1st `  <. { l  |  l 
<Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >. ,  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >. >.  P.  +Q  <Q  r  +Q  1st `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  r  2nd `  <. { l  |  l 
<Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.
3326, 31, 32syl2an 273 . . . . 5  Q.  Q.  r  2nd `  <. { l  |  l  <Q  +Q  } ,  {  |  +Q  <Q  } >.  +Q  1st `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  r  2nd `  <. { l  |  l 
<Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.
3433orcomd 647 . . . 4  Q.  Q.  r  2nd `  <. { l  |  l  <Q  +Q  } ,  {  |  +Q  <Q  } >.  r  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +Q  1st `  <. { l  |  l 
<Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.
3520, 34ecased 1238 . . 3  Q.  Q.  r  2nd `  <. { l  |  l  <Q  +Q  } ,  {  |  +Q  <Q  } >.  r  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.
3635ex 108 . 2  Q.  Q.  r  2nd `  <. { l  |  l  <Q  +Q  } ,  {  |  +Q 
<Q  } >.  r  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.
3736ssrdv 2945 1  Q.  Q.  2nd `  <. { l  |  l  <Q  +Q  } ,  {  |  +Q  <Q  } >. 
C_  2nd `  <. { l  |  l 
<Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wo 628   wcel 1390   {cab 2023   _Vcvv 2551    C_ wss 2911   <.cop 3370   class class class wbr 3755    Or wor 4023   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   1stc1st 5707   2ndc2nd 5708   Q.cnq 6264    +Q cplq 6266    <Q cltq 6269   P.cnp 6275    +P. cpp 6277
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-iplp 6451
This theorem is referenced by:  addnqpr  6542
  Copyright terms: Public domain W3C validator