ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addltmul Structured version   Unicode version

Theorem addltmul 7918
Description: Sum is less than product for numbers greater than 2. (Contributed by Stefan Allan, 24-Sep-2010.)
Assertion
Ref Expression
addltmul  RR  RR  2  <  2  <  +  <  x.

Proof of Theorem addltmul
StepHypRef Expression
1 2re 7745 . . . . . . 7  2  RR
2 1re 6804 . . . . . . 7  1  RR
3 ltsub1 7228 . . . . . . 7  2  RR  RR  1  RR 
2  <  2  -  1  <  -  1
41, 2, 3mp3an13 1222 . . . . . 6  RR 
2  <  2  -  1  <  -  1
5 2m1e1 7792 . . . . . . 7  2  -  1  1
65breq1i 3762 . . . . . 6  2  -  1  <  - 
1  1  <  -  1
74, 6syl6bb 185 . . . . 5  RR 
2  <  1  <  -  1
8 ltsub1 7228 . . . . . . 7  2  RR  RR  1  RR 
2  <  2  -  1  <  -  1
91, 2, 8mp3an13 1222 . . . . . 6  RR 
2  <  2  -  1  <  -  1
105breq1i 3762 . . . . . 6  2  -  1  <  - 
1  1  <  -  1
119, 10syl6bb 185 . . . . 5  RR 
2  <  1  <  -  1
127, 11bi2anan9 538 . . . 4  RR  RR  2  <  2  <  1  <  -  1  1  <  - 
1
13 peano2rem 7054 . . . . 5  RR  -  1  RR
14 peano2rem 7054 . . . . 5  RR  -  1  RR
15 mulgt1 7590 . . . . . 6  - 
1  RR  -  1  RR  1  <  -  1  1  <  - 
1  1  <  -  1  x.  - 
1
1615ex 108 . . . . 5  -  1  RR  -  1  RR  1  <  -  1  1  <  -  1  1  <  -  1  x.  - 
1
1713, 14, 16syl2an 273 . . . 4  RR  RR  1  <  -  1  1  <  -  1  1  <  -  1  x.  - 
1
1812, 17sylbid 139 . . 3  RR  RR  2  <  2  <  1  <  -  1  x.  - 
1
19 recn 6792 . . . . . 6  RR  CC
20 recn 6792 . . . . . 6  RR  CC
21 ax-1cn 6756 . . . . . . 7  1  CC
22 mulsub 7174 . . . . . . . 8  CC  1  CC  CC  1  CC  -  1  x.  - 
1  x.  +  1  x.  1  -  x.  1  +  x.  1
2321, 22mpanl2 411 . . . . . . 7  CC  CC  1  CC  -  1  x.  - 
1  x.  +  1  x.  1  -  x.  1  +  x.  1
2421, 23mpanr2 414 . . . . . 6  CC  CC  - 
1  x.  -  1  x.  +  1  x.  1  -  x.  1  +  x.  1
2519, 20, 24syl2an 273 . . . . 5  RR  RR  - 
1  x.  -  1  x.  +  1  x.  1  -  x.  1  +  x.  1
2625breq2d 3767 . . . 4  RR  RR  1  <  -  1  x.  - 
1  1  <  x.  + 
1  x.  1  -  x.  1  +  x.  1
27 1t1e1 7825 . . . . . . 7  1  x.  1  1
2827oveq2i 5466 . . . . . 6  x.  +  1  x.  1  x.  +  1
2928breq2i 3763 . . . . 5  x.  1  +  x.  1  +  1  <  x.  +  1  x.  1  x.  1  +  x.  1  +  1  <  x.  +  1
30 remulcl 6787 . . . . . . . 8  RR  1  RR  x.  1  RR
312, 30mpan2 401 . . . . . . 7  RR  x.  1  RR
32 remulcl 6787 . . . . . . . 8  RR  1  RR  x.  1  RR
332, 32mpan2 401 . . . . . . 7  RR  x.  1  RR
34 readdcl 6785 . . . . . . 7  x.  1  RR  x.  1  RR  x.  1  +  x.  1  RR
3531, 33, 34syl2an 273 . . . . . 6  RR  RR  x.  1  +  x.  1  RR
36 remulcl 6787 . . . . . . 7  RR  RR  x.  RR
372, 2remulcli 6819 . . . . . . 7  1  x.  1  RR
38 readdcl 6785 . . . . . . 7  x.  RR 
1  x.  1  RR  x.  +  1  x.  1  RR
3936, 37, 38sylancl 392 . . . . . 6  RR  RR  x.  + 
1  x.  1  RR
40 ltaddsub2 7207 . . . . . . 7  x.  1  +  x.  1  RR  1  RR  x.  +  1  x.  1  RR  x.  1  +  x.  1  +  1  <  x.  +  1  x.  1  1  <  x.  + 
1  x.  1  -  x.  1  +  x.  1
412, 40mp3an2 1219 . . . . . 6  x.  1  +  x.  1  RR  x.  +  1  x.  1  RR  x.  1  +  x.  1  +  1  <  x.  +  1  x.  1  1  <  x.  + 
1  x.  1  -  x.  1  +  x.  1
4235, 39, 41syl2anc 391 . . . . 5  RR  RR  x.  1  +  x.  1  + 
1  <  x.  +  1  x.  1  1  <  x.  + 
1  x.  1  -  x.  1  +  x.  1
4329, 42syl5rbbr 184 . . . 4  RR  RR  1  <  x.  +  1  x.  1  -  x.  1  +  x.  1  x.  1  +  x.  1  + 
1  <  x.  +  1
44 ltadd1 7199 . . . . . . 7  x.  1  +  x.  1  RR  x.  RR  1  RR  x.  1  +  x.  1  <  x.  x.  1  +  x.  1  + 
1  <  x.  +  1
452, 44mp3an3 1220 . . . . . 6  x.  1  +  x.  1  RR  x.  RR  x.  1  +  x.  1  <  x.  x.  1  +  x.  1  + 
1  <  x.  +  1
4635, 36, 45syl2anc 391 . . . . 5  RR  RR  x.  1  +  x.  1  <  x.  x.  1  +  x.  1  +  1  <  x.  +  1
47 ax-1rid 6770 . . . . . . 7  RR  x.  1
48 ax-1rid 6770 . . . . . . 7  RR  x.  1
4947, 48oveqan12d 5474 . . . . . 6  RR  RR  x.  1  +  x.  1  +
5049breq1d 3765 . . . . 5  RR  RR  x.  1  +  x.  1  <  x.  +  <  x.
5146, 50bitr3d 179 . . . 4  RR  RR  x.  1  +  x.  1  + 
1  <  x.  +  1  +  <  x.
5226, 43, 513bitrd 203 . . 3  RR  RR  1  <  -  1  x.  - 
1  +  <  x.
5318, 52sylibd 138 . 2  RR  RR  2  <  2  <  +  <  x.
5453imp 115 1  RR  RR  2  <  2  <  +  <  x.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   CCcc 6689   RRcr 6690   1c1 6692    + caddc 6694    x. cmul 6696    < clt 6837    - cmin 6959   2c2 7724
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-mulrcl 6762  ax-addcom 6763  ax-mulcom 6764  ax-addass 6765  ax-mulass 6766  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-1rid 6770  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-precex 6773  ax-cnre 6774  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-ltadd 6779  ax-pre-mulgt0 6780
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-ltxr 6842  df-sub 6961  df-neg 6962  df-2 7733
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator