Theorem addltmul 7938

Description: Sum is less than product for numbers greater than 2. (Contributed by Stefan Allan, 24-Sep-2010.)

Assertion

Ref	Expression
addltmul	|- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 2 < A /\ 2 < B)) -> (A + B) < (A x. B))

Proof of Theorem addltmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 7765	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
2		1re 6824	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
3		ltsub1 7248	. . . . . . 7 |- (( 2 e. RR /\ A e. RR /\ 1 e. RR) -> ( 2 < A <-> ( 2 - 1) < (A - 1)))
4	1, 2, 3	mp3an13 1222	. . . . . 6 |- (A e. RR -> ( 2 < A <-> ( 2 - 1) < (A - 1)))
5		2m1e1 7812	. . . . . . 7 |- ( 2 - 1) = 1
6	5	breq1i 3762	. . . . . 6 |- (( 2 - 1) < (A - 1) <-> 1 < (A - 1))
7	4, 6	syl6bb 185	. . . . 5 |- (A e. RR -> ( 2 < A <-> 1 < (A - 1)))
8		ltsub1 7248	. . . . . . 7 |- (( 2 e. RR /\ B e. RR /\ 1 e. RR) -> ( 2 < B <-> ( 2 - 1) < (B - 1)))
9	1, 2, 8	mp3an13 1222	. . . . . 6 |- (B e. RR -> ( 2 < B <-> ( 2 - 1) < (B - 1)))
10	5	breq1i 3762	. . . . . 6 |- (( 2 - 1) < (B - 1) <-> 1 < (B - 1))
11	9, 10	syl6bb 185	. . . . 5 |- (B e. RR -> ( 2 < B <-> 1 < (B - 1)))
12	7, 11	bi2anan9 538	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (( 2 < A /\ 2 < B) <-> ( 1 < (A - 1) /\ 1 < (B - 1))))
13		peano2rem 7074	. . . . 5 |- (A e. RR -> (A - 1) e. RR)
14		peano2rem 7074	. . . . 5 |- (B e. RR -> (B - 1) e. RR)
15		mulgt1 7610	. . . . . 6 |- ((((A - 1) e. RR /\ (B - 1) e. RR) /\ ( 1 < (A - 1) /\ 1 < (B - 1))) -> 1 < ((A - 1) x. (B - 1)))
16	15	ex 108	. . . . 5 |- (((A - 1) e. RR /\ (B - 1) e. RR) -> (( 1 < (A - 1) /\ 1 < (B - 1)) -> 1 < ((A - 1) x. (B - 1))))
17	13, 14, 16	syl2an 273	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (( 1 < (A - 1) /\ 1 < (B - 1)) -> 1 < ((A - 1) x. (B - 1))))
18	12, 17	sylbid 139	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (( 2 < A /\ 2 < B) -> 1 < ((A - 1) x. (B - 1))))
19		recn 6812	. . . . . 6 |- (A e. RR -> A e. CC)
20		recn 6812	. . . . . 6 |- (B e. RR -> B e. CC)
21		ax-1cn 6776	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
22		mulsub 7194	. . . . . . . 8 |- (((A e. CC /\ 1 e. CC) /\ (B e. CC /\ 1 e. CC)) -> ((A - 1) x. (B - 1)) = (((A x. B) + ( 1 x. 1)) - ((A x. 1) + (B x. 1))))
23	21, 22	mpanl2 411	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ (B e. CC /\ 1 e. CC)) -> ((A - 1) x. (B - 1)) = (((A x. B) + ( 1 x. 1)) - ((A x. 1) + (B x. 1))))
24	21, 23	mpanr2 414	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A - 1) x. (B - 1)) = (((A x. B) + ( 1 x. 1)) - ((A x. 1) + (B x. 1))))
25	19, 20, 24	syl2an 273	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((A - 1) x. (B - 1)) = (((A x. B) + ( 1 x. 1)) - ((A x. 1) + (B x. 1))))
26	25	breq2d 3767	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ( 1 < ((A - 1) x. (B - 1)) <-> 1 < (((A x. B) + ( 1 x. 1)) - ((A x. 1) + (B x. 1)))))
27		1t1e1 7845	. . . . . . 7 |- ( 1 x. 1) = 1
28	27	oveq2i 5466	. . . . . 6 |- ((A x. B) + ( 1 x. 1)) = ((A x. B) + 1)
29	28	breq2i 3763	. . . . 5 |- ((((A x. 1) + (B x. 1)) + 1) < ((A x. B) + ( 1 x. 1)) <-> (((A x. 1) + (B x. 1)) + 1) < ((A x. B) + 1))
30		remulcl 6807	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ 1 e. RR) -> (A x. 1) e. RR)
31	2, 30	mpan2 401	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> (A x. 1) e. RR)
32		remulcl 6807	. . . . . . . 8 |- ((B e. RR /\ 1 e. RR) -> (B x. 1) e. RR)
33	2, 32	mpan2 401	. . . . . . 7 |- (B e. RR -> (B x. 1) e. RR)
34		readdcl 6805	. . . . . . 7 |- (((A x. 1) e. RR /\ (B x. 1) e. RR) -> ((A x. 1) + (B x. 1)) e. RR)
35	31, 33, 34	syl2an 273	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((A x. 1) + (B x. 1)) e. RR)
36		remulcl 6807	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A x. B) e. RR)
37	2, 2	remulcli 6839	. . . . . . 7 |- ( 1 x. 1) e. RR
38		readdcl 6805	. . . . . . 7 |- (((A x. B) e. RR /\ ( 1 x. 1) e. RR) -> ((A x. B) + ( 1 x. 1)) e. RR)
39	36, 37, 38	sylancl 392	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((A x. B) + ( 1 x. 1)) e. RR)
40		ltaddsub2 7227	. . . . . . 7 |- ((((A x. 1) + (B x. 1)) e. RR /\ 1 e. RR /\ ((A x. B) + ( 1 x. 1)) e. RR) -> ((((A x. 1) + (B x. 1)) + 1) < ((A x. B) + ( 1 x. 1)) <-> 1 < (((A x. B) + ( 1 x. 1)) - ((A x. 1) + (B x. 1)))))
41	2, 40	mp3an2 1219	. . . . . 6 |- ((((A x. 1) + (B x. 1)) e. RR /\ ((A x. B) + ( 1 x. 1)) e. RR) -> ((((A x. 1) + (B x. 1)) + 1) < ((A x. B) + ( 1 x. 1)) <-> 1 < (((A x. B) + ( 1 x. 1)) - ((A x. 1) + (B x. 1)))))
42	35, 39, 41	syl2anc 391	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((((A x. 1) + (B x. 1)) + 1) < ((A x. B) + ( 1 x. 1)) <-> 1 < (((A x. B) + ( 1 x. 1)) - ((A x. 1) + (B x. 1)))))
43	29, 42	syl5rbbr 184	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ( 1 < (((A x. B) + ( 1 x. 1)) - ((A x. 1) + (B x. 1))) <-> (((A x. 1) + (B x. 1)) + 1) < ((A x. B) + 1)))
44		ltadd1 7219	. . . . . . 7 |- ((((A x. 1) + (B x. 1)) e. RR /\ (A x. B) e. RR /\ 1 e. RR) -> (((A x. 1) + (B x. 1)) < (A x. B) <-> (((A x. 1) + (B x. 1)) + 1) < ((A x. B) + 1)))
45	2, 44	mp3an3 1220	. . . . . 6 |- ((((A x. 1) + (B x. 1)) e. RR /\ (A x. B) e. RR) -> (((A x. 1) + (B x. 1)) < (A x. B) <-> (((A x. 1) + (B x. 1)) + 1) < ((A x. B) + 1)))
46	35, 36, 45	syl2anc 391	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (((A x. 1) + (B x. 1)) < (A x. B) <-> (((A x. 1) + (B x. 1)) + 1) < ((A x. B) + 1)))
47		ax-1rid 6790	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> (A x. 1) = A)
48		ax-1rid 6790	. . . . . . 7 |- (B e. RR -> (B x. 1) = B)
49	47, 48	oveqan12d 5474	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((A x. 1) + (B x. 1)) = (A + B))
50	49	breq1d 3765	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (((A x. 1) + (B x. 1)) < (A x. B) <-> (A + B) < (A x. B)))
51	46, 50	bitr3d 179	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((((A x. 1) + (B x. 1)) + 1) < ((A x. B) + 1) <-> (A + B) < (A x. B)))
52	26, 43, 51	3bitrd 203	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ( 1 < ((A - 1) x. (B - 1)) <-> (A + B) < (A x. B)))
53	18, 52	sylibd 138	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (( 2 < A /\ 2 < B) -> (A + B) < (A x. B)))
54	53	imp 115	1 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 2 < A /\ 2 < B)) -> (A + B) < (A x. B))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1242   e. wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   CCcc 6709   RRcr 6710   1c1 6712   + caddc 6714   x. cmul 6716   < clt 6857   - cmin 6979   2c2 7744

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-ltxr 6862  df-sub 6981  df-neg 6982  df-2 7753

This theorem is referenced by: (None)