ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcmpblnr Unicode version

Theorem addcmpblnr 6824
Description: Lemma showing compatibility of addition. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.)
Assertion
Ref Expression
addcmpblnr  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( ( A  +P.  D )  =  ( B  +P.  C )  /\  ( F  +P.  S )  =  ( G  +P.  R
) )  ->  <. ( A  +P.  F ) ,  ( B  +P.  G
) >.  ~R  <. ( C  +P.  R ) ,  ( D  +P.  S
) >. ) )

Proof of Theorem addcmpblnr
StepHypRef Expression
1 oveq12 5521 . 2  |-  ( ( ( A  +P.  D
)  =  ( B  +P.  C )  /\  ( F  +P.  S )  =  ( G  +P.  R ) )  ->  (
( A  +P.  D
)  +P.  ( F  +P.  S ) )  =  ( ( B  +P.  C )  +P.  ( G  +P.  R ) ) )
2 addclpr 6635 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  P.  /\  F  e.  P. )  ->  ( A  +P.  F
)  e.  P. )
3 addclpr 6635 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  P.  /\  G  e.  P. )  ->  ( B  +P.  G
)  e.  P. )
42, 3anim12i 321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  F  e.  P. )  /\  ( B  e.  P.  /\  G  e.  P. )
)  ->  ( ( A  +P.  F )  e. 
P.  /\  ( B  +P.  G )  e.  P. ) )
54an4s 522 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( F  e.  P.  /\  G  e.  P. )
)  ->  ( ( A  +P.  F )  e. 
P.  /\  ( B  +P.  G )  e.  P. ) )
6 addclpr 6635 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  P.  /\  R  e.  P. )  ->  ( C  +P.  R
)  e.  P. )
7 addclpr 6635 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  P.  /\  S  e.  P. )  ->  ( D  +P.  S
)  e.  P. )
86, 7anim12i 321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  P.  /\  R  e.  P. )  /\  ( D  e.  P.  /\  S  e.  P. )
)  ->  ( ( C  +P.  R )  e. 
P.  /\  ( D  +P.  S )  e.  P. ) )
98an4s 522 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. )
)  ->  ( ( C  +P.  R )  e. 
P.  /\  ( D  +P.  S )  e.  P. ) )
105, 9anim12i 321 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( F  e.  P.  /\  G  e.  P. ) )  /\  ( ( C  e. 
P.  /\  D  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( ( A  +P.  F )  e.  P.  /\  ( B  +P.  G )  e. 
P. )  /\  (
( C  +P.  R
)  e.  P.  /\  ( D  +P.  S )  e.  P. ) ) )
1110an4s 522 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( ( A  +P.  F )  e.  P.  /\  ( B  +P.  G )  e. 
P. )  /\  (
( C  +P.  R
)  e.  P.  /\  ( D  +P.  S )  e.  P. ) ) )
12 enrbreq 6819 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  +P.  F )  e.  P.  /\  ( B  +P.  G )  e.  P. )  /\  ( ( C  +P.  R )  e.  P.  /\  ( D  +P.  S )  e.  P. ) )  ->  ( <. ( A  +P.  F ) ,  ( B  +P.  G
) >.  ~R  <. ( C  +P.  R ) ,  ( D  +P.  S
) >. 
<->  ( ( A  +P.  F )  +P.  ( D  +P.  S ) )  =  ( ( B  +P.  G )  +P.  ( C  +P.  R
) ) ) )
1311, 12syl 14 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( <. ( A  +P.  F ) ,  ( B  +P.  G
) >.  ~R  <. ( C  +P.  R ) ,  ( D  +P.  S
) >. 
<->  ( ( A  +P.  F )  +P.  ( D  +P.  S ) )  =  ( ( B  +P.  G )  +P.  ( C  +P.  R
) ) ) )
14 simprll 489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  F  e.  P. )
15 simplrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  D  e.  P. )
16 addcomprg 6676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  P.  /\  D  e.  P. )  ->  ( F  +P.  D
)  =  ( D  +P.  F ) )
1714, 15, 16syl2anc 391 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( F  +P.  D )  =  ( D  +P.  F ) )
1817oveq1d 5527 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( F  +P.  D )  +P. 
S )  =  ( ( D  +P.  F
)  +P.  S )
)
19 simprrr 492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  S  e.  P. )
20 addassprg 6677 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  P.  /\  D  e.  P.  /\  S  e.  P. )  ->  (
( F  +P.  D
)  +P.  S )  =  ( F  +P.  ( D  +P.  S ) ) )
2114, 15, 19, 20syl3anc 1135 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( F  +P.  D )  +P. 
S )  =  ( F  +P.  ( D  +P.  S ) ) )
22 addassprg 6677 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  P.  /\  F  e.  P.  /\  S  e.  P. )  ->  (
( D  +P.  F
)  +P.  S )  =  ( D  +P.  ( F  +P.  S ) ) )
2315, 14, 19, 22syl3anc 1135 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( D  +P.  F )  +P. 
S )  =  ( D  +P.  ( F  +P.  S ) ) )
2418, 21, 233eqtr3d 2080 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( F  +P.  ( D  +P.  S ) )  =  ( D  +P.  ( F  +P.  S ) ) )
2524oveq2d 5528 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( A  +P.  ( F  +P.  ( D  +P.  S ) ) )  =  ( A  +P.  ( D  +P.  ( F  +P.  S ) ) ) )
26 simplll 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  A  e.  P. )
2715, 19, 7syl2anc 391 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( D  +P.  S )  e.  P. )
28 addassprg 6677 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  F  e.  P.  /\  ( D  +P.  S )  e. 
P. )  ->  (
( A  +P.  F
)  +P.  ( D  +P.  S ) )  =  ( A  +P.  ( F  +P.  ( D  +P.  S ) ) ) )
2926, 14, 27, 28syl3anc 1135 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( A  +P.  F )  +P.  ( D  +P.  S
) )  =  ( A  +P.  ( F  +P.  ( D  +P.  S ) ) ) )
30 addclpr 6635 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  P.  /\  S  e.  P. )  ->  ( F  +P.  S
)  e.  P. )
3114, 19, 30syl2anc 391 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( F  +P.  S )  e.  P. )
32 addassprg 6677 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  D  e.  P.  /\  ( F  +P.  S )  e. 
P. )  ->  (
( A  +P.  D
)  +P.  ( F  +P.  S ) )  =  ( A  +P.  ( D  +P.  ( F  +P.  S ) ) ) )
3326, 15, 31, 32syl3anc 1135 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( A  +P.  D )  +P.  ( F  +P.  S
) )  =  ( A  +P.  ( D  +P.  ( F  +P.  S ) ) ) )
3425, 29, 333eqtr4d 2082 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( A  +P.  F )  +P.  ( D  +P.  S
) )  =  ( ( A  +P.  D
)  +P.  ( F  +P.  S ) ) )
35 simprlr 490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  G  e.  P. )
36 simplrl 487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  C  e.  P. )
37 addcomprg 6676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( G  +P.  C
)  =  ( C  +P.  G ) )
3835, 36, 37syl2anc 391 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( G  +P.  C )  =  ( C  +P.  G ) )
3938oveq1d 5527 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( G  +P.  C )  +P. 
R )  =  ( ( C  +P.  G
)  +P.  R )
)
40 simprrl 491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  R  e.  P. )
41 addassprg 6677 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  P.  /\  C  e.  P.  /\  R  e.  P. )  ->  (
( G  +P.  C
)  +P.  R )  =  ( G  +P.  ( C  +P.  R ) ) )
4235, 36, 40, 41syl3anc 1135 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( G  +P.  C )  +P. 
R )  =  ( G  +P.  ( C  +P.  R ) ) )
43 addassprg 6677 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  P.  /\  G  e.  P.  /\  R  e.  P. )  ->  (
( C  +P.  G
)  +P.  R )  =  ( C  +P.  ( G  +P.  R ) ) )
4436, 35, 40, 43syl3anc 1135 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( C  +P.  G )  +P. 
R )  =  ( C  +P.  ( G  +P.  R ) ) )
4539, 42, 443eqtr3d 2080 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( G  +P.  ( C  +P.  R ) )  =  ( C  +P.  ( G  +P.  R ) ) )
4645oveq2d 5528 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( B  +P.  ( G  +P.  ( C  +P.  R ) ) )  =  ( B  +P.  ( C  +P.  ( G  +P.  R ) ) ) )
47 simpllr 486 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  B  e.  P. )
4836, 40, 6syl2anc 391 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( C  +P.  R )  e.  P. )
49 addassprg 6677 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  P.  /\  G  e.  P.  /\  ( C  +P.  R )  e. 
P. )  ->  (
( B  +P.  G
)  +P.  ( C  +P.  R ) )  =  ( B  +P.  ( G  +P.  ( C  +P.  R ) ) ) )
5047, 35, 48, 49syl3anc 1135 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( B  +P.  G )  +P.  ( C  +P.  R
) )  =  ( B  +P.  ( G  +P.  ( C  +P.  R ) ) ) )
51 addclpr 6635 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  P.  /\  R  e.  P. )  ->  ( G  +P.  R
)  e.  P. )
5235, 40, 51syl2anc 391 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( G  +P.  R )  e.  P. )
53 addassprg 6677 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  P.  /\  C  e.  P.  /\  ( G  +P.  R )  e. 
P. )  ->  (
( B  +P.  C
)  +P.  ( G  +P.  R ) )  =  ( B  +P.  ( C  +P.  ( G  +P.  R ) ) ) )
5447, 36, 52, 53syl3anc 1135 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( B  +P.  C )  +P.  ( G  +P.  R
) )  =  ( B  +P.  ( C  +P.  ( G  +P.  R ) ) ) )
5546, 50, 543eqtr4d 2082 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( B  +P.  G )  +P.  ( C  +P.  R
) )  =  ( ( B  +P.  C
)  +P.  ( G  +P.  R ) ) )
5634, 55eqeq12d 2054 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( ( A  +P.  F )  +P.  ( D  +P.  S ) )  =  ( ( B  +P.  G
)  +P.  ( C  +P.  R ) )  <->  ( ( A  +P.  D )  +P.  ( F  +P.  S
) )  =  ( ( B  +P.  C
)  +P.  ( G  +P.  R ) ) ) )
5713, 56bitrd 177 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( <. ( A  +P.  F ) ,  ( B  +P.  G
) >.  ~R  <. ( C  +P.  R ) ,  ( D  +P.  S
) >. 
<->  ( ( A  +P.  D )  +P.  ( F  +P.  S ) )  =  ( ( B  +P.  C )  +P.  ( G  +P.  R
) ) ) )
581, 57syl5ibr 145 1  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( ( A  +P.  D )  =  ( B  +P.  C )  /\  ( F  +P.  S )  =  ( G  +P.  R
) )  ->  <. ( A  +P.  F ) ,  ( B  +P.  G
) >.  ~R  <. ( C  +P.  R ) ,  ( D  +P.  S
) >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    = wceq 1243    e. wcel 1393   <.cop 3378   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   P.cnp 6389    +P. cpp 6391    ~R cer 6394
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-iplp 6566  df-enr 6811
This theorem is referenced by:  addsrmo  6828
  Copyright terms: Public domain W3C validator