Theorem addcani 7193

Description: Cancellation law for addition. Theorem I.1 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcani.1	|- A e. CC
addcani.2	|- B e. CC
addcani.3	|- C e. CC

Assertion

Ref	Expression
addcani	|- ( ( A + B ) = ( A + C ) <-> B = C )

Proof of Theorem addcani

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcani.1	. 2 |- A e. CC
2		addcani.2	. 2 |- B e. CC
3		addcani.3	. 2 |- C e. CC
4		addcan 7191	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A + B ) = ( A + C ) <-> B = C ) )
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1232	1 |- ( ( A + B ) = ( A + C ) <-> B = C )

Syntax hints:   <-> wb 98   = wceq 1243   e. wcel 1393  (class class class)co 5512   CCcc 6887   + caddc 6892

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-iota 4867  df-fv 4910  df-ov 5515

This theorem is referenced by:  negdii  7295