Theorem abrexex2 5751

Description: Existence of an existentially restricted class abstraction. ph is normally has free-variable parameters x and y. See also abrexex 5744. (Contributed by NM, 12-Sep-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
abrexex2.1	|- A e. _V
abrexex2.2	|- { y | ph } e. _V

Assertion

Ref	Expression
abrexex2	|- { y | E. x e. A ph } e. _V

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem abrexex2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1421	. . . 4 |- F/ z E. x e. A ph
2		nfcv 2178	. . . . 5 |- F/_ y A
3		nfs1v 1815	. . . . 5 |- F/ y [ z / y ] ph
4	2, 3	nfrexxy 2361	. . . 4 |- F/ y E. x e. A [ z / y ] ph
5		sbequ12 1654	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ph <-> [ z / y ] ph ) )
6	5	rexbidv 2327	. . . 4 |- ( y = z -> ( E. x e. A ph <-> E. x e. A [ z / y ] ph ) )
7	1, 4, 6	cbvab 2160	. . 3 |- { y | E. x e. A ph } = { z | E. x e. A [ z / y ] ph }
8		df-clab 2027	. . . . 5 |- ( z e. { y | ph } <-> [ z / y ] ph )
9	8	rexbii 2331	. . . 4 |- ( E. x e. A z e. { y | ph } <-> E. x e. A [ z / y ] ph )
10	9	abbii 2153	. . 3 |- { z | E. x e. A z e. { y | ph } } = { z | E. x e. A [ z / y ] ph }
11	7, 10	eqtr4i 2063	. 2 |- { y | E. x e. A ph } = { z | E. x e. A z e. { y | ph } }
12		df-iun 3659	. . 3 |- U_ x e. A { y | ph } = { z | E. x e. A z e. { y | ph } }
13		abrexex2.1	. . . 4 |- A e. _V
14		abrexex2.2	. . . 4 |- { y | ph } e. _V
15	13, 14	iunex 5750	. . 3 |- U_ x e. A { y | ph } e. _V
16	12, 15	eqeltrri 2111	. 2 |- { z | E. x e. A z e. { y | ph } } e. _V
17	11, 16	eqeltri 2110	1 |- { y | E. x e. A ph } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1393   [wsb 1645   {cab 2026   E.wrex 2307   _Vcvv 2557   U_ciun 3657

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910

This theorem is referenced by:  abexssex  5752  abexex  5753  oprabrexex2  5757  ab2rexex  5758  ab2rexex2  5759