Theorem ab2rexex2 5759

Description: Existence of an existentially restricted class abstraction. ph normally has free-variable parameters x, y, and z. Compare abrexex2 5751. (Contributed by NM, 20-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
ab2rexex2.1	|- A e. _V
ab2rexex2.2	|- B e. _V
ab2rexex2.3	|- { z | ph } e. _V

Assertion

Ref	Expression
ab2rexex2	|- { z | E. x e. A E. y e. B ph } e. _V

Distinct variable groups:   x, z, A   y, z, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   A( y)   B( x)

Proof of Theorem ab2rexex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ab2rexex2.1	. 2 |- A e. _V
2		ab2rexex2.2	. . 3 |- B e. _V
3		ab2rexex2.3	. . 3 |- { z | ph } e. _V
4	2, 3	abrexex2 5751	. 2 |- { z | E. y e. B ph } e. _V
5	1, 4	abrexex2 5751	1 |- { z | E. x e. A E. y e. B ph } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1393   {cab 2026   E.wrex 2307   _Vcvv 2557

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910

This theorem is referenced by: (None)