Theorem 2tnp1ge0ge0 9143

Description: Two times an integer plus one is not negative iff the integer is not negative. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2tnp1ge0ge0	|- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) + 1 ) <-> 0 <_ N ) )

Proof of Theorem 2tnp1ge0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 8273	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
2	1	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 2 e. ZZ )
3		id 19	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. ZZ )
4	2, 3	zmulcld 8366	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
5	4	peano2zd 8363	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. ZZ )
6	5	zred 8360	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR )
7		2re 7985	. . . 4 |- 2 e. RR
8	7	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ZZ -> 2 e. RR )
9		2pos 8007	. . . 4 |- 0 < 2
10	9	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ZZ -> 0 < 2 )
11		ge0div 7837	. . 3 |- ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR /\ 2 e. RR /\ 0 < 2 ) -> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) + 1 ) <-> 0 <_ ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) ) )
12	6, 8, 10, 11	syl3anc 1135	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) + 1 ) <-> 0 <_ ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) ) )
13	4	zcnd 8361	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. N ) e. CC )
14		1cnd 7043	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
15		2cn 7986	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
16		2ap0 8009	. . . . . . 7 |- 2 # 0
17	15, 16	pm3.2i 257	. . . . . 6 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
18	17	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) )
19		divdirap 7674	. . . . 5 |- ( ( ( 2 x. N ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) = ( ( ( 2 x. N ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
20	13, 14, 18, 19	syl3anc 1135	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) = ( ( ( 2 x. N ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
21		zcn 8250	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
22		2cnd 7988	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 2 e. CC )
23	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 2 # 0 )
24	21, 22, 23	divcanap3d 7770	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. N ) / 2 ) = N )
25	24	oveq1d 5527	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 2 x. N ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = ( N + ( 1 / 2 ) ) )
26	20, 25	eqtrd 2072	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) = ( N + ( 1 / 2 ) ) )
27	26	breq2d 3776	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) <-> 0 <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) ) )
28		zre 8249	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
29		halfre 8138	. . . . 5 |- ( 1 / 2 ) e. RR
30	29	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 1 / 2 ) e. RR )
31	28, 30	readdcld 7055	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
32		halfge0 8141	. . . 4 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
33	28, 30	addge01d 7524	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( 1 / 2 ) <-> N <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) ) )
34	32, 33	mpbii 136	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) )
35		1red 7042	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> 1 e. RR )
36		halflt1 8142	. . . . 5 |- ( 1 / 2 ) < 1
37	36	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 1 / 2 ) < 1 )
38	30, 35, 28, 37	ltadd2dd 7419	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N + ( 1 / 2 ) ) < ( N + 1 ) )
39		btwnzge0 9142	. . 3 |- ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ N e. ZZ ) /\ ( N <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) /\ ( N + ( 1 / 2 ) ) < ( N + 1 ) ) ) -> ( 0 <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) <-> 0 <_ N ) )
40	31, 3, 34, 38, 39	syl22anc 1136	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) <-> 0 <_ N ) )
41	12, 27, 40	3bitrd 203	1 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) + 1 ) <-> 0 <_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   e. wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   CCcc 6887   RRcr 6888   0cc0 6889   1c1 6890   + caddc 6892   x. cmul 6894   < clt 7060   <_ cle 7061   # cap 7572   / cdiv 7651   2c2 7964   ZZcz 8245

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-n0 8182  df-z 8246

This theorem is referenced by: (None)