ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2elresin Structured version   Unicode version

Theorem 2elresin 4953
Description: Membership in two functions restricted by each other's domain. (Contributed by NM, 8-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
2elresin  F  Fn  G  Fn  <. ,  >.  F  <. , 
>.  G  <. ,  >.  F  |`  i^i  <. ,  >.  G  |`  i^i

Proof of Theorem 2elresin
StepHypRef Expression
1 fnop 4945 . . . . . . . 8  F  Fn  <. ,  >.  F
2 fnop 4945 . . . . . . . 8  G  Fn  <. ,  >.  G
31, 2anim12i 321 . . . . . . 7  F  Fn  <. , 
>.  F  G  Fn  <. , 
>.  G
43an4s 522 . . . . . 6  F  Fn  G  Fn  <. ,  >.  F  <. , 
>.  G
5 elin 3120 . . . . . 6  i^i
64, 5sylibr 137 . . . . 5  F  Fn  G  Fn  <. ,  >.  F  <. , 
>.  G  i^i
7 vex 2554 . . . . . . . 8 
_V
87opres 4564 . . . . . . 7  i^i  <. ,  >.  F  |`  i^i  <. ,  >.  F
9 vex 2554 . . . . . . . 8 
_V
109opres 4564 . . . . . . 7  i^i  <. ,  >.  G  |`  i^i  <. ,  >.  G
118, 10anbi12d 442 . . . . . 6  i^i 
<. ,  >.  F  |`  i^i  <. , 
>.  G  |`  i^i  <. ,  >.  F  <. , 
>.  G
1211biimprd 147 . . . . 5  i^i 
<. ,  >.  F  <. ,  >.  G  <. ,  >.  F  |`  i^i  <. ,  >.  G  |`  i^i
136, 12syl 14 . . . 4  F  Fn  G  Fn  <. ,  >.  F  <. , 
>.  G  <. ,  >.  F  <. , 
>.  G  <. , 
>.  F  |`  i^i  <. ,  >.  G  |`  i^i
1413ex 108 . . 3  F  Fn  G  Fn  <. ,  >.  F  <. , 
>.  G  <. , 
>.  F  <. ,  >.  G  <. ,  >.  F  |`  i^i  <. ,  >.  G  |`  i^i
1514pm2.43d 44 . 2  F  Fn  G  Fn  <. ,  >.  F  <. , 
>.  G  <. , 
>.  F  |`  i^i  <. ,  >.  G  |`  i^i
16 resss 4578 . . . 4  F  |`  i^i  C_  F
1716sseli 2935 . . 3  <. ,  >.  F  |`  i^i  <. ,  >.  F
18 resss 4578 . . . 4  G  |`  i^i  C_  G
1918sseli 2935 . . 3  <. ,  >.  G  |`  i^i  <. ,  >.  G
2017, 19anim12i 321 . 2 
<. ,  >.  F  |`  i^i  <. , 
>.  G  |`  i^i  <. ,  >.  F  <. ,  >.  G
2115, 20impbid1 130 1  F  Fn  G  Fn  <. ,  >.  F  <. , 
>.  G  <. ,  >.  F  |`  i^i  <. ,  >.  G  |`  i^i
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wcel 1390    i^i cin 2910   <.cop 3370    |` cres 4290    Fn wfn 4840
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-dm 4298  df-res 4300  df-fun 4847  df-fn 4848
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator