Theorem 0cnALT 7201

Description: Alternate proof of 0cn 7019. (Contributed by NM, 19-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0cnALT	|- 0 e. CC

Proof of Theorem 0cnALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 6979	. . 3 |- _i e. CC
2		cnegex 7189	. . 3 |- ( _i e. CC -> E. x e. CC ( _i + x ) = 0 )
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 |- E. x e. CC ( _i + x ) = 0
4		addcl 7006	. . . . 5 |- ( ( _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( _i + x ) e. CC )
5	1, 4	mpan 400	. . . 4 |- ( x e. CC -> ( _i + x ) e. CC )
6		eleq1 2100	. . . 4 |- ( ( _i + x ) = 0 -> ( ( _i + x ) e. CC <-> 0 e. CC ) )
7	5, 6	syl5ibcom 144	. . 3 |- ( x e. CC -> ( ( _i + x ) = 0 -> 0 e. CC ) )
8	7	rexlimiv 2427	. 2 |- ( E. x e. CC ( _i + x ) = 0 -> 0 e. CC )
9	3, 8	ax-mp 7	1 |- 0 e. CC

Syntax hints:   = wceq 1243   e. wcel 1393   E.wrex 2307  (class class class)co 5512   CCcc 6887   0cc0 6889   _ici 6891   + caddc 6892

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-iota 4867  df-fv 4910  df-ov 5515

This theorem is referenced by: (None)