Theorem axrep 207

Description: Axiom of Replacement. An axiom scheme of Zermelo-Fraenkel set theory. Axiom 5 of [TakeutiZaring] p. 19.

Hypotheses

Ref	Expression
axrep.1	⊢ A:∗
axrep.2	⊢ B:(α → ∗)

Assertion

Ref	Expression
axrep	⊢ ⊤⊧[(∀λx:α (∃λy:β (∀λz:β [(∀λy:β A) ⇒ [z:β = y:β]]))) ⇒ (∃λy:(β → ∗) (∀λz:β [(y:(β → ∗)z:β) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]))]

Distinct variable groups:   y,B   α,y   x,y,β   y,z,β

Proof of Theorem axrep

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wal 124	. . . . . . 7 ⊢ ∀:((α → ∗) → ∗)
2		wex 129	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃:((β → ∗) → ∗)
3		wal 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∀:((β → ∗) → ∗)
4		wim 127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⇒ :(∗ → (∗ → ∗))
5		axrep.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ A:∗
6	5	wl 59	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ λy:β A:(β → ∗)
7	3, 6	wc 45	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀λy:β A):∗
8		wv 58	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ z:β:β
9		wv 58	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ y:β:β
10	8, 9	weqi 68	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ [z:β = y:β]:∗
11	4, 7, 10	wov 64	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ [(∀λy:β A) ⇒ [z:β = y:β]]:∗
12	11	wl 59	. . . . . . . . . . 11 ⊢ λz:β [(∀λy:β A) ⇒ [z:β = y:β]]:(β → ∗)
13	3, 12	wc 45	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀λz:β [(∀λy:β A) ⇒ [z:β = y:β]]):∗
14	13	wl 59	. . . . . . . . 9 ⊢ λy:β (∀λz:β [(∀λy:β A) ⇒ [z:β = y:β]]):(β → ∗)
15	2, 14	wc 45	. . . . . . . 8 ⊢ (∃λy:β (∀λz:β [(∀λy:β A) ⇒ [z:β = y:β]])):∗
16	15	wl 59	. . . . . . 7 ⊢ λx:α (∃λy:β (∀λz:β [(∀λy:β A) ⇒ [z:β = y:β]])):(α → ∗)
17	1, 16	wc 45	. . . . . 6 ⊢ (∀λx:α (∃λy:β (∀λz:β [(∀λy:β A) ⇒ [z:β = y:β]]))):∗
18		wtru 40	. . . . . . . 8 ⊢ ⊤:∗
19		wex 129	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃:((α → ∗) → ∗)
20		wan 126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∧ :(∗ → (∗ → ∗))
21		axrep.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ B:(α → ∗)
22		wv 58	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ x:α:α
23	21, 22	wc 45	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Bx:α):∗
24	20, 23, 7	wov 64	. . . . . . . . . 10 ⊢ [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)]:∗
25	24	wl 59	. . . . . . . . 9 ⊢ λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)]:(α → ∗)
26	19, 25	wc 45	. . . . . . . 8 ⊢ (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)]):∗
27	18, 26	eqid 73	. . . . . . 7 ⊢ ⊤⊧[(∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)]) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]
28	27	alrimiv 141	. . . . . 6 ⊢ ⊤⊧(∀λz:β [(∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)]) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])])
29	17, 28	a1i 28	. . . . 5 ⊢ (∀λx:α (∃λy:β (∀λz:β [(∀λy:β A) ⇒ [z:β = y:β]])))⊧(∀λz:β [(∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)]) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])])
30	29	ax-cb1 29	. . . . . 6 ⊢ (∀λx:α (∃λy:β (∀λz:β [(∀λy:β A) ⇒ [z:β = y:β]]))):∗
31		wv 58	. . . . . . . . . . 11 ⊢ y:(β → ∗):(β → ∗)
32	31, 8	wc 45	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y:(β → ∗)z:β):∗
33	32, 26	weqi 68	. . . . . . . . 9 ⊢ [(y:(β → ∗)z:β) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]:∗
34	33	wl 59	. . . . . . . 8 ⊢ λz:β [(y:(β → ∗)z:β) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]:(β → ∗)
35	3, 34	wc 45	. . . . . . 7 ⊢ (∀λz:β [(y:(β → ∗)z:β) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]):∗
36	26	wl 59	. . . . . . 7 ⊢ λz:β (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)]):(β → ∗)
37		weq 38	. . . . . . . . . 10 ⊢ = :(∗ → (∗ → ∗))
38	31, 36	weqi 68	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ [y:(β → ∗) = λz:β (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]:∗
39	38	id 25	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ [y:(β → ∗) = λz:β (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]⊧[y:(β → ∗) = λz:β (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]
40	31, 8, 39	ceq1 79	. . . . . . . . . . 11 ⊢ [y:(β → ∗) = λz:β (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]⊧[(y:(β → ∗)z:β) = (λz:β (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])z:β)]
41	26	beta 82	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⊤⊧[(λz:β (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])z:β) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]
42	38, 41	a1i 28	. . . . . . . . . . 11 ⊢ [y:(β → ∗) = λz:β (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]⊧[(λz:β (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])z:β) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]
43	32, 40, 42	eqtri 85	. . . . . . . . . 10 ⊢ [y:(β → ∗) = λz:β (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]⊧[(y:(β → ∗)z:β) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]
44	37, 32, 26, 43	oveq1 89	. . . . . . . . 9 ⊢ [y:(β → ∗) = λz:β (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]⊧[[(y:(β → ∗)z:β) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])] = [(∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)]) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]]
45		weq 38	. . . . . . . . . 10 ⊢ = :((β → ∗) → ((β → ∗) → ∗))
46		wv 58	. . . . . . . . . 10 ⊢ f:β:β
47	37, 46	ax-17 95	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⊤⊧[(λz:β = f:β) = = ]
48	31, 46	ax-17 95	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⊤⊧[(λz:β y:(β → ∗)f:β) = y:(β → ∗)]
49	26, 46	ax-hbl1 93	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⊤⊧[(λz:β λz:β (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])f:β) = λz:β (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]
50	45, 31, 46, 36, 47, 48, 49	hbov 101	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊤⊧[(λz:β [y:(β → ∗) = λz:β (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]f:β) = [y:(β → ∗) = λz:β (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]]
51	33, 44, 50	leqf 169	. . . . . . . 8 ⊢ [y:(β → ∗) = λz:β (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]⊧[λz:β [(y:(β → ∗)z:β) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])] = λz:β [(∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)]) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]]
52	3, 34, 51	ceq2 80	. . . . . . 7 ⊢ [y:(β → ∗) = λz:β (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]⊧[(∀λz:β [(y:(β → ∗)z:β) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]) = (∀λz:β [(∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)]) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])])]
53	26, 26	weqi 68	. . . . . . . . 9 ⊢ [(∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)]) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]:∗
54	53	wl 59	. . . . . . . 8 ⊢ λz:β [(∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)]) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]:(β → ∗)
55		wv 58	. . . . . . . 8 ⊢ f:(β → ∗):(β → ∗)
56	3, 55	ax-17 95	. . . . . . . 8 ⊢ ⊤⊧[(λy:(β → ∗) ∀f:(β → ∗)) = ∀]
57		weq 38	. . . . . . . . . . 11 ⊢ = :(γ → (γ → ∗))
58	57, 55	ax-17 95	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⊤⊧[(λy:(β → ∗) = f:(β → ∗)) = = ]
59	2, 55	ax-17 95	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊤⊧[(λy:(β → ∗) ∃f:(β → ∗)) = ∃]
60	20, 55	ax-17 95	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⊤⊧[(λy:(β → ∗) ∧ f:(β → ∗)) = ∧ ]
61	23, 55	ax-17 95	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⊤⊧[(λy:(β → ∗) (Bx:α)f:(β → ∗)) = (Bx:α)]
62	5, 55, 18	hbl1 94	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⊤⊧[(λy:(β → ∗) λy:β Af:(β → ∗)) = λy:β A]
63	3, 6, 55, 56, 62	hbc 100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⊤⊧[(λy:(β → ∗) (∀λy:β A)f:(β → ∗)) = (∀λy:β A)]
64	20, 23, 55, 7, 60, 61, 63	hbov 101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⊤⊧[(λy:(β → ∗) [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)]f:(β → ∗)) = [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)]]
65	24, 55, 64	hbl 102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊤⊧[(λy:(β → ∗) λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)]f:(β → ∗)) = λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)]]
66	19, 25, 55, 59, 65	hbc 100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⊤⊧[(λy:(β → ∗) (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])f:(β → ∗)) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]
67	37, 26, 55, 26, 58, 66, 66	hbov 101	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊤⊧[(λy:(β → ∗) [(∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)]) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]f:(β → ∗)) = [(∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)]) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]]
68	53, 55, 67	hbl 102	. . . . . . . 8 ⊢ ⊤⊧[(λy:(β → ∗) λz:β [(∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)]) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]f:(β → ∗)) = λz:β [(∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)]) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]]
69	3, 54, 55, 56, 68	hbc 100	. . . . . . 7 ⊢ ⊤⊧[(λy:(β → ∗) (∀λz:β [(∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)]) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])])f:(β → ∗)) = (∀λz:β [(∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)]) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])])]
70	26, 55, 66	hbl 102	. . . . . . 7 ⊢ ⊤⊧[(λy:(β → ∗) λz:β (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])f:(β → ∗)) = λz:β (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]
71	35, 36, 52, 69, 70	clf 105	. . . . . 6 ⊢ ⊤⊧[(λy:(β → ∗) (∀λz:β [(y:(β → ∗)z:β) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])])λz:β (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])) = (∀λz:β [(∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)]) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])])]
72	30, 71	a1i 28	. . . . 5 ⊢ (∀λx:α (∃λy:β (∀λz:β [(∀λy:β A) ⇒ [z:β = y:β]])))⊧[(λy:(β → ∗) (∀λz:β [(y:(β → ∗)z:β) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])])λz:β (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])) = (∀λz:β [(∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)]) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])])]
73	29, 72	mpbir 77	. . . 4 ⊢ (∀λx:α (∃λy:β (∀λz:β [(∀λy:β A) ⇒ [z:β = y:β]])))⊧(λy:(β → ∗) (∀λz:β [(y:(β → ∗)z:β) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])])λz:β (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)]))
74	35	wl 59	. . . . 5 ⊢ λy:(β → ∗) (∀λz:β [(y:(β → ∗)z:β) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]):((β → ∗) → ∗)
75	74, 36	ax4e 158	. . . 4 ⊢ (λy:(β → ∗) (∀λz:β [(y:(β → ∗)z:β) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])])λz:β (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)]))⊧(∃λy:(β → ∗) (∀λz:β [(y:(β → ∗)z:β) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]))
76	73, 75	syl 16	. . 3 ⊢ (∀λx:α (∃λy:β (∀λz:β [(∀λy:β A) ⇒ [z:β = y:β]])))⊧(∃λy:(β → ∗) (∀λz:β [(y:(β → ∗)z:β) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]))
77	76, 18	adantl 51	. 2 ⊢ (⊤, (∀λx:α (∃λy:β (∀λz:β [(∀λy:β A) ⇒ [z:β = y:β]]))))⊧(∃λy:(β → ∗) (∀λz:β [(y:(β → ∗)z:β) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]))
78	77	ex 148	1 ⊢ ⊤⊧[(∀λx:α (∃λy:β (∀λz:β [(∀λy:β A) ⇒ [z:β = y:β]]))) ⇒ (∃λy:(β → ∗) (∀λz:β [(y:(β → ∗)z:β) = (∃λx:α [(Bx:α) ∧ (∀λy:β A)])]))]

Syntax hints:  tv 1   → ht 2  ∗hb 3  kc 5  λkl 6   = ke 7  ⊤kt 8  [kbr 9  ⊧wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12   ∧ tan 109   ⇒ tim 111  ∀tal 112  ∃tex 113

This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-refl 39  ax-eqmp 42  ax-ded 43  ax-ceq 46  ax-beta 60  ax-distrc 61  ax-leq 62  ax-distrl 63  ax-hbl1 93  ax-17 95  ax-inst 103  ax-eta 165

This theorem depends on definitions:  df-ov 65  df-al 116  df-an 118  df-im 119  df-ex 121

This theorem is referenced by: (None)